第十三章 曲线积分与曲面积分
定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.
第一节 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为y?f?x?，x??a,b?，其上每一点的密度为??x,y?．
如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为
M1,M2,...,Mn, 每一小弧段的长度分别是?s1,?s2,...,?sn．取其中的一小段弧Mi?1Mi来分
图13-1
析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点
??i,?i?的密度???i,?i?来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于
???i,?i??si．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即
M????xi,yi??si．
i?1n用?表示n个小弧段的最大长度. 为了计算M的精确值, 取上式右端之和当??0时的极限，从而得到
M?lim??(?i,?i)?si.
???i?1n即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：
定义13.1 设L是xoy面内的一条光滑曲线，函数f?x,y?在L上有界，用L上任意插入
1
一点列M1,M2,...,Mn将曲线分为n个小段. 设第i段的长度为?si(i?1,2,?,n)，又
??i,?i?为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f??i,?i??si，并作和?f??i,?i??si，
i?1n若当各小段的长度?的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数f?x,y?在曲线L上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作
n?f?x,y?ds, 即
L?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si,
??0i?1其中f?x,y?叫做被积函数，L称为积分弧段．当L是光滑封闭曲线时，记为
?f?x,y?ds．
L类似地，对于三元函数f?x,y,z?在空间的曲线L上光滑，也可以定义f?x,y,z?在曲线L上对弧长的曲线积分
?f?x,y,z?ds．
L这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为
M???(x,y)ds.
L由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若f,g在曲线L上第一类曲线积分存在，?,?是常数, 则
?f(x,y)??g(x,y)在曲线L上第一类曲线积分也存在，且
???f?x,y???g?x,y??ds???f?x,y?ds???g?x,y?ds；
LLL性质２（对路径的可加性）设曲线L分成两段L1,L2. 如果函数f在L上的第一类曲线积分存在，则函数分别在L1和L2上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f在L1和则函数f在L上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式L2上的第一类曲线积分存在，成立
?L1?L2fds??fds??fds．(L1?L2表示L)
L1L2对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算
定理13.1 设有光滑曲线
?x??(t)L:?,t?[?,?]. ?y??(t)即?'(t),?'(t)连续. 若函数f(x,y)在L上连续，则它在L上的第一类曲线积分存在，且
2
?Lf?x,y?ds??f???t?,??t??????'?t?????'?t??dt
?(?(?),?(?))，
22证明 如前面定义一样，对L依次插入M1,M2,...,Mn?1，并设M0Mn?(?(?),?(?)). 注意到??t0?t1???tn??. 记小弧段Mi?1Mi的长度为?si，那
么
ti?si??ti?1?'2(t)??'2(t)dt,i?1,2,?n.
22由?'(t)??'(t)的连续性与微分中值定理，有
?si??titi?1?'2(t)??'2(t)dt,(ti?1??i'?ti).
所以, 当xi??(?i''),yi??(?i'')时,
?f(x,y)?s??f(?(?iiii?1i?1nni''),?(?i''))?'2(?i')??'2(?i'2)?ti,
这里ti?1??i',?i''?ti. 设
???f(?(?i''),?(?i''))[?'2(?i')??'2(?i')??'2(?i'')??'2(?i'')]?ti
i?1n则有
?f(x,y)?s??f(?(?iiii?1i?1nni''),?(?i''))?'2(?i'')??'2(?i'')?ti??.
令?t?max{?t1,?t2,?,?tn}, 要证明的是lim??0.
?t?0因为复合函数f(?(t),?(t))关于t连续，所以在闭区间[?,?]上有界，即存在M，对一切t?[?,?]有
|f(?(t),?(t))|?M.
22再由?'(t)??'(t)在[?,?]上连续，所以它在[?,?]上一致连续. 即当任给??0，必存
在??0，当?t??时有
|?'2(?i'')??'2(?i'')??'2(?i')??'2(?i')|??.
从而
|?|??M??ti??M(???).
i?1n 3
所以
?t?0lim??0.
再从定积分定义得
?t?0lim?f(?(?i''),?(?i''))?'2(?i'')??'2(?i'')?ti
i?1n??f(?(t),?(t))?'2(t)??'2(t)dt.
??所以当
?f(x,y)?s??f(?(?iiii?1i?1nni即''),?(?i''))?'2(?i'')??'2(?i'')?ti??两边取极限后，
得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
y?y(x),a?x?b,
则
?f?x,y?ds??f?x,y?x??Lab1??y'?x??dx．
2例13.1 计算曲线积分的一段弧．（如图13.1-2）
?Lyds，其中L是抛物线y?x2上的点A?0,0?与点B?1,1?之间
图13-2
解：积分曲线由方程
y?x2,x??0,1?
给出，所以
1?Lyds??0x21?x2'dx
????12 ??10x1?4x2dx
1?1?1?4x2?=55?1. ??1212??0???? 4
22x?y例13.2 计算积分???ds，其中L为圆周:x?asint,y?acost,0?t?2?. ?nL解：由于L为圆周：x?asint,y?acost,0?t?2?，所以
???xL2?y2n?2?ds????asint???acost?202?2n?a2cos2t?a2(?sint)2dt
?2n2nadt?2?a． ?0对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L由参数方程
x?x?t?,y?y?t?,z?z?t?，??t??确定，则有ds?x'2?t??y'2?t??z'2?t?dt，从而
?f?x,y,z?ds???f?x?t?,y?t?,z?t??L?x'2?t??y'2?t??z'2?t?dt．
例13.３ 计算曲线积分
??x?2?y2?z2ds，其中?是螺旋线x?acost, y?asint,
?z?kt上相应于t从0到2?的一段弧．
解：由上面的结论有
??x?2?y?z?ds??222?0??acost?22??asint???kt?22???asint?2??acost?2?k2dt
??2?0?a?k2t2??a2?k2dt2??a2?k23a2?4?2k23?
例14.4 计算
?Lx2ds, 其中L为球面x2?y2?z2?a2被平面x?y?z?0所截得的圆
周.
解：由对称性可知
?所以
2Lx2ds??y2ds??z2ds,
LL1a2222?Lxds?3?L(x?y?z)ds?3习题13.1
23ds??L3?a.
1. 计算半径为R、中心角为2?的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度
??1）.
2. 计算曲线积分
??z?kt(x2?y2?z2)ds，y?asint，其中?为螺旋线x?acost，
5