y y y0 A D B C o x0 x 图13-14
x??x x 取?x充分性, 使(x??x,y)?D, 则函数U对于x的偏增量
U(x??x,y)?U(x,y)??Pdx?Qdy??Pdx?Qdy.
ACAB因为在D内对于曲线积分与路径无关,所以
?ACPdx?Qdy??Pdx?Qdy??Pdx?Qdy.
ABBC由于直线段BC平行于x轴, 所以BC:x?t,t?[x,x??x], y?y(常数), 因而dy?0,且
?U?U(x??x,y)?U(x,y)??Pdx?Qdy
BC??x??xxP(t,y)dt.
对上式右端应用积分中值定理,得
?U?P(x??x,y),0???1.
再因P在D上的连续性, 推得
?u?U?lim?limP(x???x,y)?P(x,y). ?x?x?0?x?x?0同理可证
?U?Q(x,y). 于是有 ?ydu?Pdx?Qdy.
(3)?(4) 设存在函数U使得
dU?Ux(x,y)dx?Uy(x,y)dy?Pdx?Qdy,
故P(x,y)?Ux(x,y),
Q(x,y)?Uy(x,y).
21
因此
?P?2U?Q?2U?,?. ?y?x?y?x?y?x因为P,Q在区域D内具有一阶连续偏导数,所以
?2U?2U?. ?x?y?y?x从而在D内每一点处都有
?P?Q?. ?y?x(4)?(1) 设L为D中任一按段光滑闭曲线,记L所围成的区域为?. 由于D为单连通区域, 所以区域?含在D内. 应用Green公式及在D内恒有
?P?Q?, 就得到 ?y?x??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0. 证毕. ??L?????x?y??上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时, Pdx?Qdy在D的原函数的构造方法,即下面的例13.14
例13.14 设P?x,y?dx?Q?x,y?dy是某个区域D的函数的全微分，即函数．
解：设L是区域D中的从点A?x0,y0?到点B?x,y?的光滑曲线段．由于前面的定理可知，曲线积分则
?P?Q．求此??y?y?P?Q，由??y?y0所以可以取点C?x,y?，?P?x,y?dx?Q?x,y?dy与路径无关，
L?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??P?x,y?dx?Q?x,y?dy??P?x,y?dx?Q?x,y?dyLACCB??P?x,y0?dx??Q?x,y?dyx0y0xy．
令u?x,y???xx0P?x,y0?dx??Q?x,y?dy，则有
y0yy?Q?P?P?x,y0???dy
y0?x?x?P?x,y0????Pdy y0?yy 22
?P?x,y0??P?x,y??P?x,yo??P?x,y??u?Q?x,y?． ?y所以u?x,y?就是所求的函数．
若取点C*?x0,y?，则类似上面的作法，可以得到
u*?x,y???P?x,y?dx??Q?x0,y?dy，
x0y0xy同样可以证明u*?x,y?的全微分是P?x,y?dx?Q?x,y?dy． 从这个定理的证明及例13.14我们也得到了全微分的求解公式：
u?x,y???P?x,y0?dx??Q?x,y?dy
x0y0xy例13.15 应用曲线积分求
(2x?siny)dx?(xcosy)dy
的原函数.
解
y)?2x这里P(x,?s, yY Q(x,y)?xcosy, 因此
B(x,y) X ?P?Q?cosy,?cosy, ?y?x于是在整个平面上有
A(0,0) C(x,0) ?P?Q?. 图13-15 ?y?x取A(0,0),B(x,y),由定理13.3可知,平面上任一所光滑曲线AB的曲线积分
?AB(2x?siny)dx?(xcosy)dy
只与起点A和终点B有关,与路径无关. 为此只需求沿折线段ACB的曲线积分.
u(x,y)??2xdx??xcosydy?x2?xsiny.
00xy
习题13.3
1. 求I??(3,0)(0,?1)(x4?4xy3)dx?(6x2y2?5y4)dy.
23
2. 计算I?x?yx?dx??Lx2?y2x2?yd. y其中L是从点A(?a,0)经上半椭圆2yx2y2?2?1(y?0)到点B(a,0)的弧段. 2ab3. 求
(x?1)dy?ydx??L(x?1)2?y2. 其中L为含有点(1,0)的区域D的边界曲线,沿逆时针方向. xcosydy?sinydx22??Lx2?sin2y. 其中L为单位圆x?y?1的正向.
4. 求
5. 计算曲线积分
方向. 6. 证明曲线积分
ydx?xdy22L. 其中为圆周(x?1)?y?2, L的方向为逆时针??L2(x2?y2)(3,4)?(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy在整个xoy面内与路径无关,
并计算积分值.
3cosxdx?7. 验证4sinxsiny3cosy3cosxdy2在整个xoy平面内是某一个函数
u(x,y)的全微分, 并求一个这样的函数.
8. 设f(x)在(??,??)有连续导函数, 求
1?y2f(xy)x2dx?[yf(xy)?1]dy. ?Lyy2其中L是从点A(3,)到点B(1,2)的直线段. 9. 确定常数n, 使得
23(x?y)dx?(x?y)dy
(x2?y2)n为某函数u?u(x,y)的全微分, 并求u(x,y).
10. 设D是由y?x,y?4x,xy?1及xy?4所围成的区域, L是它的正向边界,
F(u)具有连续导数, 求证
4F(xy)dy?ln2??Ly?1f(u)du.
其中F'(u)?f(u).
24
参考答案
1. 2385 2. ?? 3. 2? 4. 2? 5. ?? 6.
236
7. u(x,y)??sin3ycos2x 8. ?4
9. 12ln(x2?y2)?arctanyx?C10. 提示: 作变换u?xy,v?yx.
25