上相应于t从0到2?的一段弧. 3. 计算
?Cye?xdS,其中C为曲线x?ln(1?t2),y?2arctgt?t?3由t?0到t?1间
的一段弧.
x2y24. 求?xydS，其中L是椭圆周2?2?1位于第一象限中的那部分。
Lab5. 计算6. 求
?Lx2?y2dS，其中L为曲线x2?y2??2y.
1L(,2)到点(1,1)的一段弧。 xdSxy?1，其中为双曲线从点?L27. 计算8. 计算
?(x?y)ds其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.
L??eLx2?y2ds其中L为圆周x2?y2?a2,直线y?x及x轴在第一象限内所扇
形的整个边界. 9. 计算
??x2yzds,其中?为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。
10. 计算
?L(x2?y2)ds，其中L为曲线x?a(cost?tsint), y?a(sint?tcost)
(0?t?2?).
22222211. 设L为双纽线(x?y)?a(x?y), 计算积分I??|y|ds.
Lx2y222(2xy?3x?4y)ds. ??1, 其周长为a, 求?12. 设L为椭圆?L43参考答案
1．R(??sin?cos?) 2.?a?k(3a?4?k)
323222223.
?213?ln2?? 1624ab(a2?ab?b2)4.
3(a?b)5. 4??sin?d???4??sin?d??8
??00 6
16. ?27.
t211t?1dt?[t?ln]17224t?14t?122174
2 ??8. ea?2?9. 9
??a??2 4?10. 2?2a3(1?2?2) 11. 2a2(2?2) 12. 12a
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线
L:x?x?t?,y?y?t?,z?z?t?运动，当t?a时，对应曲线上的一个端点A，当t?b时，
对应曲线的另一个端点B，在外力
F?x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k
的作用下质点从A移动到B，现在求力F所作的功．
由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有W?F?s．现在的是一个变量，位移s也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入n个分点
?M0?A,M1,M2,...,Mn?B这些点对应的t分别是a?t0,t1,...,tn?b．在每一小段弧
Mi?1Mi上，可以认为位移就是Mi?1Mi，在小弧段Mi?1Mi上任意一点??i,?i,?i?的力
F??i,?i,?i?来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从Mi?1移到Mi时，
力F所作的功近似为F??i,?i,?i??Mi?1Mi，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力F的作用下质点从A移动到B所作的功的一个近似值．即
????W??F??i,?i,?i??Mi?1Mi
i?1n 7
注意F?x,y,z??{P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?}，而Mi?1Mi?{?xi,?yi,?zi}，所以
W??F??i,?i,?i??Mi?1Mi
i?1n???P??i,?i,?i??xi?Q??i,?i,?i??yi?R??i,?i,?i??zi?．
i?1n再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值?趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力F所作的功．即
W?lim??P??i,?i,?i??xi?Q??i,?i,?i??yi?R??i,?i,?i??zi?．
??0i?1n从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.
定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分) 设L是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为A和B. P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?为定义在曲线L上的函数．在
L内依次插入点M1,M2,...,Mn?1，并令M0(x0,y0,z0)?A, Mn(xn,yn,zn)?B.并且这些
点是从A到B排列的. 这样就将曲线L分为n个小的弧段Mi?1Mi(i?1,2,?,n)．设
?xi?xi?xi?1，?yi?yi?yi?1，?zi?zi?zi?1．记各弧段长为?si, ??max{?si}. 在小
1?i?n弧段Mi?1Mi上任意取一点??i,?i,?i?，若lim??0?P??,?,???xiiii?1ni存在，则称之为函数
P?x,y,z?在有向曲线L上对坐标x的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为
?P?x,y,z?dx．即
L?P??,?,???x?P?x,y,z?dx＝lim?L?0iiii?1ni．
类似地，有
?Q??,?,???y?P?x,y,z?dy＝lim?L?0iiii?1nni；
?R??,?,???z?P?x,y,z?dz＝lim?L?0iiii?1i．
分别称为函数在有向曲线L上对坐标y和对坐标z的曲线积分．这些积分统称为第二类曲
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线积分．
若L为封闭有向曲线,则记为
??P?x,y,z?dx、??P?x,y,z?dy或??P?x,y,z?dz．
LLL由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：
１．P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz；
?L?L?L?L２（线性性）：若两个向量值函数(i?1,2,?,k)存在, 则
?LPi(x,y,z)dx?Qi(x,y,z)dy?Ri(x,y,z)dz
k?k??k??k?ciP?i?dx???ciQi?dy???ciRi?dz??ci?L?i?1?i?1??i?1??i?1???Pdx??Qdy??Rdz?,
LiLiLi
其中ci(i?1,2,?,k)为常数．
３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线L分成了两段L1和L2，它们与L的取向相同（记L?L1?L2），则向量函数f(x,y,z)在L上的第二类曲线积分的存在性等价于
f(x,y,z)在L1和L2上的第二类曲线积分的存在性．且有
L1?L2?f?x,y,z?dx??f?x,y,z?dx??f?x,y,z?dx；
L1L2４（方向性）：如用?L表示与L方向相反的曲线．则有
?L?f?x,y,z?dx???f?x,y,z?dx．
L二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算
?x?x?t??设L的参数方程为?y?y?t?,t?[?,?]，起点为A?x???,y???,z???? ，终点为
?z?z?t??B?x???,y???,z????，函数x?t?,y?t?,z?t?都具有连续导数．在曲线弧上插入若干个
点M0,M2,...,Mn，相应于t的取值分别是??t0,t1,t2,...tn??，Mi?xi,yi,zi?，
?xi?x?ti??x?ti?1???x??t?dt ，而?ti?ti?ti?1，于是由积分中值定理有
ti?1ti?xi?x???i??ti．此时取?i,?i,?i分别为x(?i),y(?i),z(?i)，则
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?P?x???,y???,z?????t?P?x,y,z?dx?lim?L?0iiii?1ni
??P?x?t?,y?t?,z?t??x??t?dt??类似地可以求
?Q?x,y,z?dy和?R?x,y,z?dz．最后得到
LL?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz
????P?x?t?,y?t?,z?t??x'?t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y??t??Rz??t??dt?在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点．
求曲线积分的一般步骤是：
１．将x,y,z用各自的参数方程代替；
２．将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限； ３．将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．
特别地，当L是平面xoy上的光滑曲线时，设曲线方程为y?y?x?，起点和终点对应的x的值分别是a,b，则有
?P?x,y?dx?Q?x,y?dy???P?x,y?x???Q?x,y?y'?x??dx．
bLa例13.5 计算曲线积分
?xydx，其中L为抛物线y?xL2从点A?1,1?到点
B??1,1?的一段弧，如右图．
解：将要计算的积分化为对x的定积分，即以x为积分变量，曲线段的起点和终点对应的x的值分别是1和?1，将曲线积分中的y用x代替，所以
图13-3
2?Lxydx??x?x2?dx?1?114?1x|1?0． 4x2y2例13.6 计算曲线积分?xdy?ydx，其中L为椭圆2?2?1沿逆时针方向．
abL解：椭圆的参数方程为x?acost,y?bsint,0?t?2?，所以可以将曲线积分化为对参数t的积分，起点和终点所对应的t的值分别为0和2?，x,y分别用参数方程代替，由此得到
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