ey?yeyex?xex?(fx?fzz)dx?(fy?fzz)dy.
e?zeze?zez8. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且y=y(x),z=z(x)分别由下列两式确定：
x?zexy?xy?2,ex??sintdt，
0t求du. dxdydydyexyy?yyxyxy解：由e?xy?2,可得e(y?x)?(y?x)?0,因此，???.
dxdxdxx?exyxxx?zsintsin(x?z)ex(x?z)dzdzxx由e??. dt,可得e?(1?)，因此?1?0tx?zdxdxsin(x?z)
dyyex(x?z)dudz故?fx?fy?fz?fx?fy?fz[1?]. dxdxdxxsin(x?z)9. 设z=z(x,y)由方程x2+y2－z=g(x+y+z)所确定，其中g具有二阶连续偏导数且g′≠－1. (1) 求dz;
(2) u(x,y)?1(?z??z),求?u.
?xx?y?x?y解：(1)由x2?y2－z?g?x?y?z?,两边分别同时对x、y求偏导得 2x??z?z?z?z?g'?x?y?z?(1?),2y??g'?x?y?z?(1?). ?x?x?y?y2x?g'?x?y?z??z2y?g'?x?y?z?因此?z?,?.
?xg'?x?y?z??1?yg'?x?y?z??1dz?2x?g'?x?y?z?2y?g'?x?y?z?dx?dy.
g'?x?y?z??1g'?x?y?z??1(2) u(x,y)?2x?2y1?z?z12, (?)??x?y?x?yx?yg'?x?y?z??1g'?x?y?z??12x?g'?x?y?z??z?2g''(x?y?z)[1?]?2g''(x?y?z)(1?)g'x?y?z?1???u?x??. 2?x[g'(x?y?z)?1][g'(x?y?z)?1]210. 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.解：由z=x2?y2,x?y?z?4可得x2?y2?4?x?y.因此，问题转化为求 u?4?x?y?(4?x?2y)在约束条件22x?y?4?
. ?x下的极值问题?y令L(x,y,?)?4?x?y?(4?x?y)2??(x2?y2?4?x?y), Lx(x,y,?)??1?2(4?x?y)?2?x???0， Ly(x,y,?)??1?2(4?x?y)?2?y???0.
x2?y2?4?x?y?0,
解得: x??2,y??2或x?1,y?1.因此, z=8或z=2.
又f(?2,?2,8)?72,f(1,1,2)?6. 所以最大值为72，最小值为6.
习题8-1
1. 设有一平面薄片，在xOy平面上形成闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，且μ(x,y)在D连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：m????(x,y)d?.
D - 16 -
2. 试比较下列二重积分的大小： (1) (2)
??(x?y)dσ与??(x?y)dσ，其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成；
DD23?ln(x?y)??dσ，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）为顶点??ln(x?y)dσ与???DD2的三角形闭区域.
解：(1)在D内，0?x?y?1，故?x?y???x?y?，??(x?y)2d????(x?y)3d?.
DD23 (2) 在D内，1?x?y?2，故0?ln(x?y)?1,从而ln(x?y)?ln2(x?y),
习题8-2
1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1) ???(x?y)dσ，其中D为矩形闭区域：x?1,y?1；
D??ln(x?y)d????[ln(x?y)]d?
DD2(2) ???(3x?2y)dσ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；
D(3) ???(x2?y2?x)dσ,其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；
D(4) ???x2ydσ,其中D是半圆形闭区域:x2+y2≤4,x≥0；
D(5) ???xlnydσ,其中D为:0≤x≤4,1≤y≤e；
D2(6) ???x2dσ其中D是由曲线xy?1,x?1,y?x所围成的闭区域.
2yD解：(1) ??(x?y)d???dx?(x?y)dy??2xdx?0.
D?1?1?1111 (2) ??(3x?2y)d???dx?D022?x0(3x?2y)dy??[3x(2?x)?(2?x)2]dx
0222 ??[?2x2?2x?4]dx??2x3?x2?4x?20.
030319y332 (3) ??(x?y?x)d???dy?y(x?y?x)dx??(?y)dy
002482D222y2222 19y4?1y3?13.
96806 (4) 因为被积函数是关于y的奇函数，且D关于x轴对称，所以??x2yd??0.
D4e4ee4 (5) ??xlnyd???dx?xlnydy??x(ylny?lny)dx?e?1x2?2(e?1).
0102110D111222411x21xxx3xxxdx??1(x?x)dx?(?)1?9. (6) ??2d???1dx?2dy???1xy2464y22y2Dx22. 将二重积分??f(x,y)dσ化为二次积分（两种次序）其中积分区域D分别如下：
D(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；
(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；
- 17 -
(3) 由直线y=x,x=2及双曲线y?1所围成的闭区域；
x(4) 由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域. 解：(1) ?dx?f(x,y)dy??dx?0011x22?x0f(x,y)dy??dy?012?yyf(x,y)dx.
(2) ?dx?01242xx2f(x,y)dy??dy?10221y4yy2f(x,y)dx.
2x14(3) ?1dy?1f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx??dx?1f(x,y)dy.
yx(4) ?dx?2f(x,y)dy??dy??1x01y111y?yf(x,y)dx.
22y3. 交换下列二次积分的积分次序：
(1) ?dy?f(x,y)dx； （2）?dy?2f(x,y)dx；
000y (3) ?dx?110elnx0yf(x,y)dy； (4) ?dy?0110x12y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx.
解：(1) ?dy?f(x,y)dx??dx?f(x,y)dy.
0(2) ?dy?2f(x,y)dx??dx?xf(x,y)dy.
0y022y4x(3) ?dx?1elnx0f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx
0e12e(4) ?dy?012y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx??dx?x023?xf(x,y)dy.
24. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.
111解：V??dx?(6?2x?3y)dy??(6?2x?3)dx?7.
000225. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6－z截得的立体体积.
11?x1(1?x)334222解：V??dx?(6?x?y)dy??[6(1?x)?(1?x)x?)dx?.
000312
习题8-3
1. 画出积分区域，把二重积分??f(x,y)dσ化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D
D是：
(1) x2+y2≤a2 (a>0)； (2) x2+y2≤2x；
(3) 1≤x2+y2≤4； (4) 0≤y≤1－x,0≤x≤1. 解：(1) (2) (3) (4)
??Df(x,y)d???d??f(rcos?,rsin?)rdr.
002?a??Df(x,y)d???2?d???2?2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr.
??DDf(x,y)d???d??f(rcos?,rsin?)rdr.
012?2??f(x,y)d????20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr.
2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1)
?a0dy?a2?y20a(x2?y2)dx；
a2?y222(2)
?20?10dx?2x2?y2dx;
xx解：(1)
?0dy?0(x?y)dx??d??a0?a4?a4. rdr???3248 - 18 -
?sin?cos2?0(2)
?dx?01xx2x?ydx??d??40221sin3?rdr??4d? 30cos6?2?21?co?s1141 ???d(co?s?)??4[d6630cos?30cos???14(?co?s)d4?0cos???( cos)]?5?31cos?cos?)4?2(2?1). ??(??353450?3. 在极坐标系下计算下列二重积分： (1)???exD2?y222
dσ,其中D是圆形闭区域: x+y≤1；
2(2) 区域；
(3)
??ln(1?xD22
?y2)dσ,其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
??arctanxdσ，其中D是由圆周x+y=1,x+y=4及直线y=0,y=x所围成的在第一
Dy2222
象限内的闭区域；
(4)
??DR2?x2?y2dσ其中D由圆周x2+y2=Rx(R>0)所围成.
2解：(1) ??exD?y22?12121d???d??errdr?2??er??(e?1).
0020(2)
2??ln(1?x?y)d???2d??ln(1?r)rdr?D0022?1?[r2ln(1?r2)1?22r3dr]
0?01?r2121r(1?r)?r??(2ln2?1). ?[ln2?2?dr]?2401?r4??2222y?33?44(3) ??arctand???d??arctan(tan?)?rdr???d??rdr???.
0101x32264D(4)
??DR?x?ydσ???d??2?2222?Rcos?0?3122222Rcos?R?rrdr????(R?r)d? 2?2302231?R3332 ????(Rsin. ??Rd?)?3?23?4. 求由曲面z=x2+y2与z?x2?y2所围成的立体体积.
解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：
V???[x2?y2?(x2?y2)]d???d??(r?r2)rdr?D002?1?.
6
习题8-4
1. 计算反常二重积分??e?(x?y)dxdy，其中D：x≥0,y≥x.
D2. 计算反常二重积分??Ddxdy，其中D：x2+y2≥1. 222(x?y)a?2x?x?a?2ae?1?2a解：1. ?dx?edy??(e?e)dx???e?e?a
0x02?2a 所以??e?(x?y)dxdy?lim(?e?1?e?2a?e?a)?1.
a???22Daa?x?y - 19 -
2?Rdxdy11112. 由?d??1?lim2?(?2)??. dr?2?(?2)，得??222301rR???22R22R(x?y)D
复习题8
（A）
1. 将二重积分??f(x,y)dxdy化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：
D(1) ︱x︱≤1,︱y︱≤2;
(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成. 解：(1) ?1dx?2f(x,y)dy??2dy?1?1?2?2?1f(x,y)dx.
(2) ?42x4y0dx?xf(x,y)dy??0dy?y2f(x,y)dx.
42. 交换下列两次积分的次序： (1)?1dyy0?yf(x,y)dx;
2a2ax?x2(2)?0dx?0f(x,y)dy;
(3)?10dx?x0f(x,y)dy+?22?x1dx?0f(x,y)dy．
解：(1) ?11x0dy?yyf(x,y)dx??0dx?x2f(x,y)dy. 2(2) ?2af(x,y)dy??ada?a2?y20dx?2ax?x00y?a?a2?y2f(x,y)dx.
(3)
?1?xf(x,y)dy+?2dx?2?x010f(x,y)dy??1dy?2?y0dx0yf(x,y)dx.
3. 计算下列二重积分：
(1) ???ex?ydσ， D: ︱x︱≤1,︱y︱≤1;
D(2) ???x2ydxdy,D由直线y?1,x?2及y?x围成；
D(3) ???(x?1)dxdy,D由y?x和y?x３
围成；
D(4) ???(x2?y2)dxdy，D:︱x︱?︱y︱≤1;
D(5) ???1sinydσ，D由y2Dy??2x与y?x围成；
(6) ???(4?x?y)dσ，D是圆域x2＋y2≤R2；
D解: (1) ??ex?yd???1dx?1ex?y1x?1x?1x?1x?111?1dy???1(e?e)dx?(e?e)D??1?(e?1)2e.
(2)
??x2ydxdy?D?2xx2ydy?12421x5x32291dx?12?1(x?x)dx?2(5?3)1?15. (3) ??(x?1)dxdy?D?10dx?xx?13(x?1)dy?0(x2?x?x4?x3)dx?13?12?15?14??760.
(4)
??(x2?y2)dxdy?411?xdy
D?0dx?0(x2?y2)?4?120(2x?x?4x312x3x2x41123?3)dx?4(3?2?3?3x)0?3.
- 20 -