an?1(n?1)2?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?1解：（1）由于??lim2n??an??nn时，原级数为
?nn?1?2，此时级数发散；当x??1时，原级数为
?(?1)n?1?n?1n2，此时级数发散。
因此，原级数的收敛域为(?1,1)。
级数的和为
?nx2n?1?n?1??n(n?1)xn?1?n?1??nxn?1?n?1??n?1?????n?????x????x??n?1??n?1?211?x?1????1?? ???1?x????1????.3231?x1?x(1?x)(1?x)(1?x)????（2）由于??lim?n??
an?1n?2?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?1时，原n??ann?1?n?1级数为
?(n?1)，此时级数发散；当x??1时，原级数为?(?1)n?1(n?1)，此时级数发
n?1散。因此，原级数的收敛域为(?1,1)。
级数的和为
x??n?1???1??(n?1)x?x(n?1)x?xx?x?1?. ???????21?x(1?x)??n?0n?0?n?0??11（3）由于??limnn?1?，则原级数收敛半径为R?2。当x?2时，原级数为?2，
n??22n?1?n?1?n此时级数发散；当x??2时，原级数为为(?2,2)。
级数的和为
?2(?1)n?1?n，此时级数发散。因此，原级数的收敛域
?xn11?x??2?2??. ????n?1x2?xn?02n?0?2?1?21a(n?1)(n?2)（4）由于??limn?1?lim则原级数收敛半径为R?1。当x?1?1，
n??an??1nn(n?1)??(?1)n?11时，原级数为?，此时级数收敛；当x??1时，原级数为?，此时级数
n?1n(n?1)n?1n(n?1)收敛。因此，原级数的收敛域为[?1,1]。
n?由于
?????11n?1?n?1， x?x?????1?xn?1?n?1n(n?1)?而
- 36 -
1?01?xdx??ln(1?x) , x?(?1,1)
x所以
xx1xn?1x??ln(1?x)dx??xln(1?x)?dx??xln(1?x)?ln(1?x)?x.????n?1n(n?1)001?x
6. 将下列函数展开成x的幂级数：
（1）3x； （2）x21?x2； （3）ln(1?x?2x2)； （4）
1(x?1)(x?2)； （5）?xsint0tdt； （6）?x0et2dt.
?解：（1）3x?exln3??(xln3)n??(ln3)nnn?0n!?x , x?(??,?)；n?0n!
n（2）x21?x2?1?11?x2?1??x2nn??x2n , x?(?n?0?1,1)； n?1（3）ln(1?x?2x2)?ln[(2x?1)(1?x)]?ln(2x?1)?ln(1?x) ????(?1)n?11(2x)n??(?1)n?11(?x)nn?1nn?1n
???(?1)n?12nn?1n?(?1)n?12nnx??x??1n11n?1n?1n?x , x?(?n?1n2,2]. （4）
1(x?1)(x?2)?11?x?1?n2?x??xn?1n?02???n?0?x??2?? ??n?x?1n?02??xn??(1?1n?n?1)xn , x?(?1,1).
n?02n?02（5）
?xsint0tdt??x??0???(?1)nt2n??(?1)nx2nn?0(2n?1)!??dt??n?0(2n?1)!?0tdt ??(?1)n?x2n?1 , x?(??,?).
n?0(2n?1)?(2n?1)!（6）?xet2dt??x??00???t2n???1x2n?x2n?1 , x?(??,?).n?0n!?dt??n?0n!?0tdt??n?0(2n?1)?n!7. 求下列函数在指定点处的幂级数展开式：
（1）f(x)?ex,x0?1； （2）f(x)?1x,x0?2. 解：（1）ex?e?ex?1?e?(x?1)n? , x?(??,?).
n?0n!（
2
1x?12?(x?2)?112?11?x?22???x?2?n?(?1)nn?0???2????n?1(x?2)n , x?2?2. n?022(B)
）
- 37 -
1. 讨论级数?(n?1)!的敛散性. n?1nn?1?解：由于limun?1n??un(n?2)!??n?2?n(n?2)1?1(n?1)由比值判别法知，?lim?lim???1，
n??(n?1)!n??(n?1)21n?e?(1?)?n?1nn????2n?2n?原级数收敛。
2. 已知正项级数?un收敛，证明级数?u也收敛.反之，若?u收敛，?un是否一
n?1n?1n?1n?1定收敛？
证：由于正项级数?un收敛，由级数收敛的必要条件有limun?0，那么存在充分大
n?1?n??的正整数N，使得当n?N时，成立un?1，于是当n?N时，un?un?1。则由比较判别法的推论，可知级数
?2?un?12?2n也收敛。
??2?1?1? 反之，若?un收敛，则?un不一定收敛。例如，级数?????2收敛，
n?1?n?n?1nn?1n?1?1但调和级数?发散。
n?1n3. 已知级数?u收敛，证明级数?2nn?1?un绝对收敛. nn?1?证：由柯西不等式，有
骣nun??邋??桫k=1n亦即
n骣n1鼢骣n2÷÷￡珑un， 珑2鼢 ÷鼢÷珑桫桫k=1nk=1n12n122骣1鼢骣2珑￡u鼢珑邋n2鼢 珑桫桫k=1nk=1nk=1un令Sn=，
￥?nunnSn￠=，
k=1?nk=11，Snⅱ=2n?nk=1分别是级数?un，
2￥unn、
的部分和。由上式，可知成立Sn￡SnⅱSn 。由于级数?n=112和?un收敛，那么部分和2nn=1n=1￥?￥n=1￥12和?un2nn=1数列Sn￠和Snⅱ收敛，因此数列Sn￠和Snⅱ有界。而Sn￡{}{}n{}{}SnⅱSn ，所以正项级数n??￥un的部分和数列{Sn}单调有界。由数列的单调有界定理，可知极限limSn存在，所
n=1以级数
?￥unn收敛，亦即级数
?n?1n=1un绝对收敛。 ?n=1n￥4. 求幂级数?(?1)n?1(3x?2)n的收敛半径和收敛域.
2n?1nn?3n?2?n?1(3x?2)n?1??(?1)x?解：原级数?(?1)??，则
2n?12n?13??n?1n?1? - 38 -
3n?1(?1)2n?3?lim3(2n?1)?3， ??limn??n??2n?33nn?1(?1)2n?111级数的收率半径为R??。
?3?11n?1 当x?1时，原级数为?(?1)，此时级数收敛；当x?时，原级数为
2n?13n?1??111，此时级数发散。因此，原级数的收敛半径为，收敛域为R?(,1]。 ?33n?12n?1n5. 将函数f(x)?arctan1?x展开为x的幂级数，并求其收敛域.
1?x?1?x??11?解：由于?arctan，而??(?1)nx2n , x?(?1,1)；所以 ??221?x?1?x1?x?n?0xx??1?x1n2n?arctan??dx?(?1)x?dx ??0?1?x01?x2?n?0???(?1)n?0??n?x0x2n?1xdx??(?1) , x?(?1,1).
2n?1n?02n?n?6. 利用幂级数展开式求下列级数的和：
n(n?1)（1）?21n； （2）?(?1)n. 2n(n?1)22n?2n?1解：（1）由于
xn??ln(1?x) , x?(?1,1)； ?nn?1?所以
nnn?1n?1??11??1?1?1?1??1??1?1?1?1???????????????????????2n???2?n?2n?1?2?n?2n?1?2??2?n?2(n?1)2n?3n?2??n?1n?2?? ??1?1?1?1?1?1111?53??????????ln2???ln(1?)?????ln2.4n?1n?2?n?3n?2?4228?84?nn（2）由于
?n(n?1)xn?1?n?x?n(n?1)xn?1?n?12x??n?1????1????x??x??x??1?x?? , x?(?1,1)31?x(1?x)???n?1?
所以
?1?2??????n(n?1)?1??4???32. (?1)n?n(n?1)??????122n125?4?n?1n?1(1?)34nnc7. 利用级数敛散性，证明lim?0，其中，c>1是常数。 n??n! - 39 -
?xncn证：由于e?? , x?(??,?)；则对于任意常数c，级数??ec收敛。由级
n?0n!n?0n!x?cn数收敛的必要条件，可知lim?0。
n??n!28. 设数列?nan?有界，证明级数?an收敛.
n?1?证：由于数列{nan}有界，则存在正数M，使得对于数列{nan}的任意项，成立
M2M2nan?M，亦即an?。那么对于任意an，成立an?2；由于M是常数，显然级
nn???M212数?2?M?2收敛。因此，由比较判别法可知级数?an2收敛。 n?1nn?1nn?1习题10-1
1. 指出下列方程的阶数：
2d(1)xy????y???2xy?0． (2)LQ?RdQ?Q?0． 2dtcdtdρ(3)?ρ?cos2θ． (4)(y?xy)dx?2x2dy?0．
dθ46解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶
2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)xy??2y, y?Cx2．
(2)(x+1)dy?y2dx, y?x+1．
(3)y???2y??y?0， y?xe?x．
2(4)ds??0.4， s??0.2t2?c1t?c2． 2dt解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；
(3)是，因为 y??e?x?xe?x,y????2e?x?xe?x，满足y???2y??y?0；
2s (4)是，代入，ds??0.4t?C1,d2??0.4，显然满足.
dtdt3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x?k2x?0 dt2的通解.
2d解：x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,x??(t)??C1kcoskt?C2ksinkt,满足x?k2x?0，所以2dt是解，又因为含有两个任意常数C1,C2，且方程是二阶的，故是通解.
224. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程dx?k2x?0的通解,求满足初始条件 2dtx| t?0 ?2? x?| t?0 ?0 的特解.
解：上题可知是微分方程通解，且x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,代入初值条件x|t?0?2,x?|t?0?0，得C1?2,C2?0，所以特解为x?2coskt(k?0).
2
习题10-2
- 40 -