2009-2012高考文科数学立体几何试题节选
25.（2009全国卷Ⅰ文）已知三棱柱影为BC的中点，则异面直线
ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射
AB与CC1所成的角的余弦值为
74 (D)
(A)
34 (B)
54 (C)
3 429.（2009宁夏海南卷文） 如图，正方体
F，且EFABCD?A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，
?1，则下列结论中错误的是 2 （A）AC（B）EF?BE
//平面ABCD
（C）三棱锥A?BEF的体积为定值
（D）?AEF的面积与?BEF的面积相等 11.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱都相等，
ABC?A1B1C1的各条棱长
所成的角的大小
M是侧棱
CC1的中点，则异面直线AB1和BM是 。 【答案】90°
【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1， 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，
∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线
20.（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱
AB1和BM所成的角的大小是90
ABCD?A1B1C1D1的底面连长为2，高 为4，则异面直
线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.
【答案】arctan5
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B， 由勾股定理，得A1B＝2
5，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。
4.（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，
DC?平面
ABC，
EB//DC，
（I）证明：PQ//AC?BC?EB?2DC?2，?ACB?120?，P,Q分别为AE,AB的中点．平面
（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值． ACD；
（Ⅰ）证明：连接DP,CQ， 在?ABE中，P,Q分别是
1AE,AB的中点，所以PQ//BE， 又
??21所以PQ//DC，又PQ?平面ACD ，DC?平面ACD， 所以PQ//DC//BE，
????2平面ACD
（Ⅱ）在?ABC中，
AC?BC?2,AQ?BQ，所以CQ?AB
而DC?平面ABC，EB//DC，所以EB?平面ABC
而EB?平面ABE， 所以平面ABE?平面ABC， 所以CQ?平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ 所以DP?平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
AC2?DC2?22?12?5 ，DP?CQ?2sin?CAQ?1
所以直线AD与平面ABE所成角是?DAP 在Rt?APD中，所以sin?DAPAD??DP15??AD555.（2009北京卷文）（本小题共14分）
如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）当PD?AEC?平面PDB；
2AB且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD?底面ABCD， ∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面
AEC?平面PDB.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE//PD，OE?1PD，又∵PD?底面ABCD， 212PD?AB?AO， 22 ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，OE? ∴?AOE?45?，即AE与平面PDB所成的角的大小为45?.
2.【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为
（A）6π （B）43π （C）46π （D）63π 【答案】B
9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，棱异面，则a的取值范围是 （A）(0,2和a且长为a的棱与长为2的
2) （B）(0,3) （C）(1,2)（D）(1,3)
【答案】A
【解析】：
BE?1?(222)?22，
BF?BE，
AB?2BF?2，
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．．
15.【2012高考四川文14】如图，在正方体
ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的
D1A1DB1C1NCBM中点，则异面直线【答案】
A1M与DN所成的角的大小是____________。
A
? 2[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1，
又A1M?平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90o
20.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边
长为23正方形。若PA=26,则△OAB的面积为______________.
【答案】33 【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。
【解析】点P、A 、B、C、D为球O内接长方体的顶点，球心O为该长方体对角线的中点，1 ??OAB的面积是该长方体对角面面积的，41?AB?23,PA?26，?PB?6，??OABD面积=?23?6=33
4【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。
25.【2012高考全国文16】已知正方体么异面直线
ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那
AE与D1F所成角的余弦值为____________.
【答案】
3 5【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题。 【解析】首先根据已知条件，连接DF，则由D1F//AE可知?DFD1或其补角为异面直线AE与D1F?D1F?5,DD1?2，再由余弦定理可得
所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到DFD1F2?DF2?D1D25?5?43cos?DFD1???。
2D1F?DF2?5526.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
如图，四棱锥
PP?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面
ABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。
（Ⅰ）证明：PC（Ⅱ）设二面角
【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的解。
?平面BED；
?E，求PD与平面PBC所成角的大小。
ADA?PB?C为90BC求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求
解：设
AC?BD?O,以
O为原点，
OC为
x轴，
OD为
y轴建立空间直角坐标系，则
A(?2,0,0),C(2,0,0),P(?2,0,2),设B(0,?a,0),D(0,a,0),E(x,y,z)。
（Ⅰ）证明：由
PE?2EC得
?????22， 所以???22，PC?(22,0,?2)E(,0,)BE?(,a,)，
3333????????????22BD?(0,2a,0)，所以PC?BE?(22,0,?2)?(,a,)?0，
33????????????????????????,。所以PC?BD?(22,0,?2)?(0,2a,0)?0PC?BEPC?BD，所以PC?平面BED；
（Ⅱ） 设平面
PAB的法向量为
?n?(x,y,z)，又
????????AP?(0,0,2A),B?的法向量为
(?2a,，,由0)???????????2n?AP?0,n?AB?0得n?(1,,0)a，设平面
PBC??m?(x,y,z，)又
????????????????????，由BC?(2,a,0)C,?P?(22,0m,?BC2)?0,m?CP?0二面角
，得m?(1,???2,2)a，由于
A?PB?C为????2,90?，所以
???m?n?0，解得a?2。
??2)，所以PD与平面PBC所成
.
所以PD?(2,?2)，平面PBC的法向量为m?(1,?1,????????|PD?m|1???????，所以PD与平面PBC所成角为角的正弦值为????6|PD|?|m|2【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。 27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）
如图，长方体上任意一点。
ABCD?A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1
（Ⅰ）证明：BD?EC1 ；
（Ⅱ）如果
AB=2，AE=2，OE?EC1,，求AA1 的长。