【解析】（I）连接
AC，AE//CC1?E,A,C,C1共面
A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形
长方体ABCD?
AC?BD,EA?BD,AC?EA?A?BD?面EACC1?BD?EC1
?EC1??OAE??EAC11
（Ⅱ）在矩形ACC1A1中，OE 得：
AEA1C1??AOEA12AA1?2??AA1?32 222??28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P?ABC中，?APB?90，?PAB?60，
AB?BC?CA，点P在平
PCABC内的射影O在AB上。
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小。
面
考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.
AB
命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，
[解析]（1）连接OC. 由已知，?OCP为直线PC与平面ABC所成的角
设AB的中点为D，连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD?AB.
因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形，
不妨设PA=2，则OD=1，OP=
3, AB=4.
所以CD=2
3，OC=OD2?CD2?1?12?13.
?OP339??OC1313
.…………………………6分
在Rt?OCP中，tan?OPC（2）过D作DE?AP于E，连接CE.
由已知可得，CD?平面PAB.
据三垂线定理可知，CE⊥PA， 所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角.
由（1）知，DE=
3
在Rt△CDE中，tan?CED故二面角B—?CD23??2 DE3AP—C的大小为arctan2 …………………………………12分
[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.
29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱中，
ABC?A1B1C1（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB?4，AC?BC?3，D为AB的中点。
AB1?AC1，求二面角A1?CD?B1的平面角的余弦值。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
1 3? 面ABC ，
【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD ?AB。又直三棱柱中，CC1故CC1?CD ，所以异面直线CC1 和AB的距离为CD=BC2?BD2?5 AB,CD?BB1,故CD? 面A1ABB1 ，从而CD?DA1 ，CD?DB1故
（Ⅱ）：由CD??A1DB1 为所求的二面角A1?CD?B1的平面角。
因
A1D是AC又已知AB1?A1在面A1ABB1上的射影，1C, 由三垂线定理的逆定理得AB1?A1D,从
??A1DA，所以Rt?A1AD≌Rt?B1A1A，
而?A1AB1，?A1DA都与?B1AB互余，因此?A1AB1因此
AA1A1B1?ADAA1得
AA12?AD?A1B1?8
从而
A1D=AA12?AD2?23,B1D?A1D?23 A1D2?DB12?A1B121? 所以在?A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1?2A1D?DB1330.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值； （II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 【解析】（I）
3，PD=CD=2.
AD//BC??PAD是PA与BC所成角
AD?PD,AD?BC?1,PD?2
在?ADP中， tan?PADPD?2 AD 异面直线PA与BC所成角的正切值为2
?（II）AD?PD,AD?DC,PD?DC?D?AD?面PDC
ABCD ?平面PDC?平面ABCD
（III）过点P作PE?CD于点E，连接BE
平面PDC?平面ABCD?PE?面ABCD??PBE是直线PB与平面ABCD所成角
?AD?面 CD?PD?2,PC?23??PDC?120??PE?3,DE?1
在Rt?BCE中，BE?BC2?CE2?10?PB?BE2?PE2?13 在Rt?BPE中，sin?PBE?PE39? PB1339 13 得：直线PB与平面
ABCD所成角的正弦值为
31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）
1
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=2AA1，D是棱AA1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
C1
A1
B1
D
C A
B
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.
【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC，CC1?AC?C,∴BC?面ACC1A1, 又∵
DC1?面ACC1A1，∴DC1?BC,
由题设知?A1DC1又∵DC?BC??ADC?450,∴?CDC1=900,即DC1?DC,
?C, ∴DC1⊥面BDC, ∵DC1?面BDC1，
∴面BDC⊥面BDC1；
（Ⅱ）设棱锥B?DACC1的体积为V1，由三棱柱∴(V11?21?1?1=， AC=1，由题意得，V1=?322ABC?A1B1C1的体积V=1，
?V1):V1=1:1， ∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA?又
BD.
AC?BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD?平面PAC，
而PC?平面PAC，所以BD?PC.
?30?.
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD?平面PAC， 所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而?DPO由BD?平面PAC，PO?平面PAC，知BD?PO. 在Rt?POD中，由?DPO?30，得PD=2OD.
?因为四边形ABCD为等腰梯形，
AC?BD，所以?AOD,?BOC均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD的高为
111AD?BC??(4?2)?3,于是梯形ABCD面积 2221S??(4?2)?3?9.
2在等腰三角形ＡＯＤ中，OD?2,AD?22, 2所以PD?2OD?42,PA?PD2?AD2?4.
故四棱锥P?ABCD的体积为V11??S?PA??9?4?12. 33