【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD?平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD?平面PAC，所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由V1??S?PA算得体积. 333.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)
如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB?CD,EC?BD. (Ⅰ)求证：BE?DE；
(Ⅱ)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.
【答案】(I)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC?CD知 ，CO?BD，
又已知CE?BD，所以BD?平面OCE. 所以BD?OE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BE?DE.
(II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE， ∵△ABD是等边三角形，∴DN?AB.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC?AB， 所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. 35.【2012高考广东文18】本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?的中点，F是CD上的点且DFAD，E是PB1AB，PH为△PAD中AD边上的高. 2（1）证明：PH?平面ABCD；
?（2）若PH?1，AD?2，FC?1，求三棱
?平面PAB.
锥E?BCF的体积；
（3）证明：EF
【解析】（1）证明：因为
所以PHAB?平面PAD，
?AB。
因为PH为△PAD中AD边上的高， 所以PH?AD。 因为AB?AD?A， 所以PH?平面ABCD。
（2）连结BH，取BH中点G，连结EG。 因为E是PB的中点， 所以EG//PH。
因为PH?平面ABCD，
所以EG?平面ABCD。
11则EG?PH?，
22
2111VE?BCF?S?BCF?EG???FC?AD?EG?12332。
（3）证明：取PA中点M，连结MD，ME。 因为E是PB的中点，
1//?2AB。 1因为DF//?2AB，
所以ME所以ME//DF，
?所以四边形MEDF是平行四边形，
//MD。
因为PD?AD， 所以MD?PA。
因为AB?平面PAD， 所以MD?AB。
所以EF 因为PA?AB?A，
所以MD?平面PAB， 所以EF?平面PAB。
2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
37.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=
（1）证明：（i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 【答案】
【解析】（1）（i）因为C1B1又因为平面B1C1EF （ii） 又因为BB1因为BB1//A1D1，C1B1? 平面ADD1 A1
，
所以C1B1//平面ADD1 A1.
?平面ADD1 A1=EF，所以C1B1//EF.所以A1D1//EF.
?A1B1C1D1，所以BB1?B1C1，
?B1A1，所以B1C1?ABB1A1，
在矩形
ABB1A1中，F是AA的中点，即tan?A1B1F?tan?AA1B?2.即 2?A1B1F??AA1B，故BA1?B1F.
所以BA1?平面B1C1EF.
(2) 设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由（1）知B1C1EF，所以?BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角. 在矩形ABB1A1中，AB?2，
AA1?2，得BH?44，在直角?BHC1中，BC1?23，BH?，得 66，所以BC与平面B1C1EF所成角的正弦值是
sin?BC1H?BH30?BC11530. 1538.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分） 直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，?CAB=
?2
（Ⅰ）证明CB1?BA1;
5，求三棱锥C1?ABA1 的体积 AB1,
，[来源:， （Ⅱ）已知AB=2，BC=【解析】（Ⅰ）如图，连结 ?ABC? ?AC 又?A1B1C1是直三棱柱，?CAB=?2?平面ABB1A1,故AC?BA1．
AB?AA1，?四边形ABB1A1是正方形， ?AB1，又CA?AB1?A， ?平面CAB1，故CB1?BA1．
?BA1 ?BA1 （Ⅱ）?AB?AA1?2，BC?5，?AC?AC11?1．
由（Ⅰ）知，A1C1 ?VC?ABA1?平面ABA1，
ABA11?1S△3·A1C1=
12?2?1?． 3337.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=
2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
（1）证明：（i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 【答案】
【解析】（1）（i）因为C1B1又因为平面B1C1EF （iii） 又因为BB1因为BB1//A1D1，C1B1? 平面ADD1 A1
，
所以C1B1//平面ADD1 A1.
?平面ADD1 A1=EF，所以C1B1//EF.所以A1D1//EF.
?A1B1C1D1，所以BB1?B1C1，
?B1A1，所以B1C1?ABB1A1，
在矩形
ABB1A1中，F是AA的中点，即tan?A1B1F?tan?AA1B?2.即 2?A1B1F??AA1B，故BA1?B1F.
所以BA1?平面B1C1EF.
(2) 设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由（1）知B1C1EF，所以?BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角. 在矩形ABB1A1中，AB?2，
AA1?2，得BH?44，在直角?BHC1中，BC1?23，BH?，得 66，所以BC与平面B1C1EF所成角的正弦值是sin?BC1H?BH30?BC11530. 1538.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分） 直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，?CAB=
?2
（Ⅰ）证明CB1?BA1;
5，求三棱锥C1?ABA1 的体积 AB1,
，[来源:， （Ⅱ）已知AB=2，BC=【解析】（Ⅰ）如图，连结 ?ABC? ?AC 又?A1B1C1是直三棱柱，?CAB=?2?平面ABB1A1,故AC?BA1．
AB?AA1，?四边形ABB1A1是正方形， ?AB1，又CA?AB1?A， ?平面CAB1，故CB1?BA1．
?BA1 ?BA1 （Ⅱ）?AB?AA1?2，BC?5，?AC?AC11?1．
由（Ⅰ）知，A1C1 ?VC?ABA1?平面ABA1，
ABA11?1S△3·A1C1=
12?2?1?． 3339.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱
ABC?A/B/C/，?BAC?90?，AB?AC?2,AA′=1，点M，N分别为A/B和