2003年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、删去正整数数列1，2，3，??中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ）
A．2046 B．2047 C．2048 D．2049
2、设a，b∈R，ab≠0，那么，直线ax－y＋b=0和曲线bx2＋ay2=ab的图形是（ ）
3、过抛物线y2=8（x＋2）的焦点F作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于( )
16168 B． C．3 D．83 3332???5??4、若x?[?,?]，则y?tan(x?)?tan(x?)?cos(x?)的最大值是（ ）.
36612312111112A．2 B．2 C．3 D．3
5665A．
5、已知x、y都在区间（－2，2）内，且xy=－1，则函数u?44?x2?99?y2的最小值是（ ）
A．
8121224 B． C． D． 575116、在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为面体ABCD的体积等于（ ）
?3，则四
3311 B． C． D． 2323二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、不等式|x|3－2x2－4|x|＋3<0的解集是__________.
A．x2y2??1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=2：1，则△8、设F1，F2是椭圆94PF1F2的面积等于__________.
－
9、已知A={x|x2－4x＋3<0，x∈R}，B={ x|21x＋a?0，x2－2（a＋7）x＋5?0，x∈R }.若A?B，则实数a的取值范围是__________.
3510、已知a，b，c，d均为正整数，且logab?,logcd?，若a－c=9，b－d=__________.
2411、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________.
12、设Mn={（十进制）n位纯小数0.a1a2
，an=1}，an|ai只取0或1（i=1，2，?，n－1）
1
Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
Sn=__________.
n??Tn3?x?5，证明不等式2x?1?2x?3?15?3x?219. 2114、设A，B，C分别是复数Z0=ai，Z1=＋bi，Z2=1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应
213、设
的不共线的三点.证明：曲线Z= Z0cos4t＋2 Z1cos2tsin2t＋Z2sin4t（t∈R）与△ABC中平行于AC的 中位线只有一个公共点，并求出此点.
15、一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.
加 试
一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B.所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间.在弦CD上取一点 Q，使∠DAQ=∠PBC.
求证：∠DBQ=∠PAC. 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数l，m，n，且l>m>n.已知
{4}?{4}?{4}，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最101010小值. 三、（本小题满分50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2＋q＋1，l?
3l3m3n1 q（q＋1）2＋1，q?2，q∈N.已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，2存在一点至少有q＋2条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）.
答 案
一、选择题
1、注意到452=2025，462=2116，故2026=a2026－45=a1981，2115= a2115－45= a2070.而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数.
又1981＋22=2003，故a2003= a1981＋22=2026＋22=2048.故选（C）.
x2y2??1，则观察可知应选（B）. 2、题设方程可变形为题设方程可变形为y=ax＋b和ab3、易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为y=3x. 因此，A，B两点
44，纵坐标y0?，进33414416??(x?)，令y=0，得P点的横坐标x?4??而求得其中垂线方程y?，即
3333316PF?，故选（A）.
3的横坐标满足方程：3x2－8x－16=0.由此求得弦AB中点的横坐标x0?
2
4、
2?2??)?cot(x?)?cos(x?)3361???cos(x?)2?2?6cos(x?)sin(x?)332???cos(x?)4?6sin(2x?) 35??4??2????因为??x??,所以2x??[,],x??[?,?].可见1232236462?5??与cos(x?)在[?,?]上同为递增函数.4?6123sin(2x?)3?11故当x??时,y取最大值3.故选(C).36y?tan(x?1，故 x49x2?9x4?72x2?435 u????1?224244?x9x?1?9x?37x?437?(9x2?2)x42411而x∈（－2，?）∪（，2），故当9x2?2,即x2?时,9x2?2之值最小，而此时函
322xx12数u有最小值，故选（D）.
5//AB，以△CDE为底面，BC为侧6、如图，过C作CE?5、由已知得y??棱作棱柱ABF－ECD，则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的. 而△CDE的面积S=
131CE×CD×sin∠ECD，AB2与CD的公垂线MN就是棱柱ABF－ECD的高，故
V2?
1133MN?CE?CD?sin?ECD??2?1?3??2222因此V1?V2?131，故选（B）. 2二、填空题
7、由原不等式分解可得（|x|－3）（x2＋|x|－1）<0，由此得所求不等式的解集为
(?3,?5?15?1)?(,3). 228、设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为2a，2b，2c，则由其方程知a=3，b=2，c=5，故|PF1|＋|PF2|=2a=6，又已知|PF1|：|PF2|=2：1，故可得|PF1|=4，|PF2|=2. 在△PF1F2中，三边之长分别为2，4，25，而2＋4=252
2
??2，可见△PF1F2是直角三角形，且两直角边的长短为
3
2和4，故△PF1F2的面积=
11|PF1|2|PF2|=×234=4. 229、易得A=（1，3），设
－
f(x)=21x＋a，g(x)=x2－2(a＋7)x＋5
要使A?B，只需f(x)，g(x)在（1，3）上的图象均在x轴下方.其充要条件是：同时有f(1)?0，f(3)?0，g(1)?0，g(3)?0.由此推出－4?a?－1.
310、由已知可得a25?b,c4bd?d,从而a?()2,c?()4.因此，a|b，c|d.又由于a－c=9，故
ac?bd2?b?5??9??2ab2d4bd2bd2a??c()?()?9,即(?2)(?2)?9,故?,因而?2.
2acacacd?bd??4?2?12???c?ac于是得a=25，b=125，c=16，d=32.故b－d=93.
11、如图，由已知上下层四个球的球心A′，B′，C′，D′和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆O′和O为上下底面构成圆柱.同时，A′在下底面的射影必是AB的中点M.
在△A′AB中，A′A= A′B=AB=2.设AB的中点为N， 则A′N=3. 又
OM=OA=
2，ON=1.所以MN=2－1，
A?M?(A?N)2?(MN)2?22?48.因此所示原来圆柱的高为48?2.
12、因为Mn中小数和小数点后均有n位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的
－－
数字均有两种选择（0或1）方法，故Tn=2n1.又因在这2n1个数中，小数点后第n位上的数字全是1，而其余各位上数字是0或1，各有一半，故
1n?111112(?2??n?1)?2n?1n21010101011(1?n?1)11010?2n?2?2n?1n1101? 10111?2n?2(1?n?1)2n?1n91010S1111故limn?lim[(1?n?1)?n]?.n??Tnn??18181010Sn?三、解答题
13、由于（a＋b＋c＋d）2=a2＋b2＋c2＋d2＋2（ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd）?4（a2＋b2＋c2
＋d2），因此a＋b＋c＋d?2a2?b2?c2?d2（当且仅当a=b=c=d时取等号）.
4
取a=b=x?1，c=2x?3，d=15?3x，则
2x?1?2x?3?15?3x?2(x?1)?(x?1)?(2x?3)?(15?3x)?2x?14 ?219因为x?1，2x?3，15?3x不能同时相等，所以2x?1?2x?3?15?3x?219. 14、设Z=x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi =acos4t2i＋2(
1＋2bi) cos2tsin2t＋(1＋ci)sin4t，实虚部分离，可得
x= cos2tsin2t＋sin4t=sin2t
y=a(1－x)2＋2b(1－x)x＋cx2(0?x?1)
即y=(a＋c－2b)x2＋2(b－a)x＋a ①
又因为A，B，C三点不共线，故a＋c－2b≠0.可见所给曲线是抛物线段（如图）.AB，BC的中点分别是
1a?b3b?cD(,),E(,). 所以直线DE的方程为 42421y=(c－a)x＋(3a＋2b－c) ②
41由①，②联立得a＋c－2b（x－）2=0.
211113由于a＋c－2b≠0，故（x－）2=0，于是得x=. 注意到??，所以，抛物线与△
224241a?c?2bABC中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为(,)，其对应的
24复数为
Z?1a?c?2b?i 2415、如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A（a，0）. 设折叠时，O上点A′（Rcosα，Rsinα）与点A重合，而折痕为直线MN，则MN为线段AA′的中垂线. 设P(x，y)为MN上任一点，则|PA′|=|PA|. 故(x－Rcosα)2＋(y－Rsinα) 2=(x－a)2＋y2，即2R(xcosα＋ysinα)=R2－a2＋2ax，故
5