由于k3=2=整数.
2222×3，k6=4=×6，k12=9>×12，k24=16=×24，从而，x3，x6，x12，x24，均为3333n＋1，所以， 2若n?/0(mod 4)，则kn?
2nkn?n?1??0(?n?6) ⑥
36若n=0(mod 4)，由于3|n，则n=2r33kq，其中r?2，k?1，q不含3的因子.
由⑤可知，kn=2r133kq＋r＋1于是，kn－n=2r133kq＋r＋1－2r133k1q=r＋1－2r13
－
－
＋
－
－
233k1q?r＋1－2r1，
等号当且仅当k=q=1时成立.
－－
当r>3时，2r1=(1＋1)r1>r＋1.由此可知，当r>3或2?r?3，但k、q中有一个不为1时，有
－
－
2kn?n?0 ⑦
3由⑥和⑦知{xn}中仅有x0，x3，x6，x12，x24均为整数. 综上得数列中最少有5个整数项.
2003年中学生数学智能通讯赛试题
高一年级
一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合M={x|x3－x=0}，集合N={x|－2?x?1，x∈Z}，从M到N的映射f：M→N满足条件，对任意x∈M，恒有x＋3f(x)为偶数，则这样的映射共有（ ）
A．8个 B．9个 C．81个 D．64个
2、设[t]表示不大于t的最大整数，如[1]=1，[1.2]=1，则方程[3x＋1]=6x的根共有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
－
3、设定义域为R的函数f(x)、g(x)都有反函数，并且函数f(x＋1)和g1(x－2)的图象关于直线y=x对称，若g(5)=2002，那么f(6)等于（ ）
A．2002 B．2003 C．2004 D．2005
4、某厂生产的一种饮料售价2元，销售中还规定5个空瓶子可换取一瓶新饮料（含瓶），该种饮料每瓶成本1元（含瓶），那么该种饮料每瓶利润应是（ ）元.
A．0．55 B．0.60 C．0.63 D．0.70
3m?4m?N,m?N}，Q={t|t=(2k－1)2＋1, k∈N}，则P与Q的关系是5、已知集合P?{m|5（ ）
A．P=Q B．P?Q C．Q?P D．P?/Q且Q?/P
?/?/6、能使函数f1(x)?(x?1)3＋∞]上具有单调性的正数m的取值范围是（ ） ?mx在区间[0，
A．0
13131313 26
7、某人坚持早晨在一条弃用的旧公路上步行锻炼身体，同时数数训练头脑，他先从某地向前走2步后后退1步，再向前走4步后后退2步，?，再向前走2n步后后退n步?当他走完第2008步后就一直往出发地走.此人从出发到回到原地一共走了（ ）步.
A．3924 B．3925 C．3926 D．3927 8、下面是一个计算机程序的操作说明： ①初始值x=1，y=1，z=0，n=0；
②n=n＋1（将当前的n＋1的值赋予新的n）； ③x=x＋2（将当前的x＋2的值赋予新的x）； ④y=2y（将当前的2y的值赋予新的y）； ⑤z=z＋xy（将当前的z＋xy的值赋予新的z）；
⑥如果z>7000，则执行语句⑦，否则回到语句②继续进行； ⑦打印n，z； ⑧程序终止.
则语句⑦打印的数值是（ ）
A．n=7，z=7681 B．n=8，z=7681 C．n=7，z=7682 D．n=8，z=7682 二、填空题（共8道小题，每小题5分，共40分）
9、设f(x)=x2－x＋
1的定义域是[n，n＋2]（n∈N*），则f(x)的值域中所含整数的个数是2_________.
－－
10、函数y=2|x3|－m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是_________. 11、数列{an}满足：a1=3，a2=6，an＋2= an＋1－an，则a2008=_________.
12、幼儿园里，孩子们爬滑梯，每3秒钟爬上30厘米，又滑下10厘米，若滑梯滑道总长为6.1米，且孩子们爬到滑梯顶部后不再滑下，则经过_________秒钟后，一个孩子可以从滑梯底部爬到顶部.
13、已知函数f(x)?2x21?x2，那么f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(
111)＋f()＋f()＋243f(
1)=_________. 514、数列23，2323，232323，23232323，?的一个通项公式是_________. 15、设数列{an}的通项公式为an?np?2，且a1
16、将10个相同的小球装入3个编号1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，则不同的装法共有_________种.
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三、解答题（共4道小题，每小题10分，共40分） 17、把前n个自然数按某种规律排成如下数阵
1 3 6 10 15 21 28 36 ?
2 5 9 14 20 27 35 ?
4 8 13 19 26 34 ?
7 12 18 25 33 ? 11 17 24 32 ?
16 23 31 ?
22 30 ? 29 38 ? 37 ?
?
（1）第一行第m列的数可用a1m表示，例如a11=1，a12=3，a13=6，请将a1m用m表示出来； （2）自然数2004位于第几行第几列？
（3）第i行第j列的数可用aij表示，请写出aij关于i和j的表达式.
18、容器A中盛有浓度为a%的农药m升，容器B中盛有浓度为b%的同种农药也是m升，两种农药的浓度差为20%（a>b）. 现将A中农药的使A中保持m升（将A中的
1倒入B中，均匀混合后由B倒回A，恰好41倒入B均匀；混合后，由B倒回A，使A保持m升不变，这样4叫做一次操作），欲使两种农药的浓度差小于1%，那么至少要操作多少次？（下列对数值可供选用：lg5=0.699，lg6=0.778）.
19、函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，f(x)>0的解集为{x|0
20、现代社会对破译密码的难度要求越来越高. 有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c?z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，?，26个自然数.见表格：
a 1 n 14 b 2 o 15 c 3 p 16 d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19 g 7 t 20 h 8 u 21 i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26 给出如下一个变换公式： x?1(x?N,1?x?26,x不能被2整除)2 x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)285?1将明文转换成密文，如8→＋13=17，即h变成q，5→=3，即e→c.
22??x?????x????
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（1）按上述方法将明文good译成密文.
（2）若按上述方法将某明文译成的密文是shxc，请你找出它的明文.
高二年级
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1、过点（1，3）作直线l，若l经过（a，0）和（0，b）两点，且a，b∈N*，则可作出的l的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．多于3条
2、函数f(x)?x?2?3的值域是（ ）
x?713111C．（0，）∪（,） D．（0，＋∞）
663A．（0，） B．（＋∞，0）∪（0，＋∞）
3、若鲤鱼在长大时体型基本相似，一条鲤鱼的体长为15cm时体重为15g，则当此鱼长到
长为20cm时它的体重大约是（ ）
A．20g B．25g C．35g D．40g
4、动点M（x，y）满足(x?sin?)2?(y?cos?)2?|xsin??ycos??1|，那么点M的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5、已知一个数列{an}各项是1或0，首项为1，且在第k个1和第（k＋1）个1之间有（2k－1）个0，即1，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，?.则第2004个1是该数列的第（ ）项.
A．45 B．1981 C．4012009 D．4014013
6、已知△ABC的顶点B为椭圆短轴的一个端点，另两个顶点亦在椭圆上，若△ABC的重心恰为椭圆的一个焦点，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
33231) B．(,) C．(,1) D．(0,) 332232
7、设抛物线y=2px(p>0)的轴和它的准线交于E点，经过焦点F的直线交一抛物线于P、Q两点（直线PQ与抛物线的轴不垂直）（如图1），则∠FEP和∠QEF的大小关系为（ ）
A．∠FEP>∠QEF B．∠FEP<∠QEF C．∠FEP=∠QEF D．不确定
8、小明到华兴文具店想购买2支钢笔或3支圆珠笔，现知6支钢笔和3支圆珠笔的价格之和大于24元，而4以钢笔和5支圆珠笔
的价格之和小于22元.若设2支钢笔的价格为a元，3支圆珠笔的价格为b元，则（ ）
A．a>b B．a
9、已知△ABC中，BC=6，AB＋AC=10，则△ABC面积的最大值为_________. 10、“神舟五号”飞船运行轨道是以地球的中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距地面为mkm，远地点B距地面为nkm，设地球半径为Rkm，关于椭圆有以下说法：
①焦距长为n－m，
A．(0,
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②短轴长为(m?R)(n?R)， ③离心率为e?n?m，
m?n?2R2(m?R)(n?R).
n?m④以AB方向为x轴的正方向，F为坐标原点，则左准线方程为x??以上说法正确的有___________（填上所有你认为正确说法的序号）.
11、已知O为坐标原点，OM=（－1，1），NM=（－5，－5），集合A={OR||RN|=2}，OP、，则MPMQ=___________. OQ∈A，MP??MQ（λ∈R，λ≠0）
12、要通过一宽度为am的直角形巷道，运送一批建筑管材到施工工地（如图2），问此巷道能通过最长的管材尺寸为___________m.
13、方程
xsin2x?2?2sinx?2?22x?1?lg2x?3?3xlgx?3?32x?1?xex?6?6e?6?6xx?1?1的解集是___________.
14、在一天内的不同时刻，经理把文件交给秘书打印，每次都将要打印的文件放在秘书待打印文件堆在上面，秘书一有时间就将文件中最上面的那份文件取来打印. 现有5份文件，经理是按1、2、3、4、5的
顺序交来的，在下列顺序①12345；②24351；③32415；④45231；⑤54321中秘书打印文件的可能顺序是___________（填上所有可能的序号）.
15、已知（1－sinα）（1－cosα）=
2b，设（1＋sinα）（1＋cosα）=a?，其中α是锐25c角，a，b，c均为正整数，且b、c（b 1}最大的值为___________. 22a?b三、解答题（共4道小题，每小题10分，计40分） 17、设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，?A2004(x2004，y2004)是抛物线y=x2＋x＋1上任意2004个点，且x1＋x2＋?＋x2004=1，求y1＋y2＋?＋y2004的最小值. 18、若x，y∈R，x＋y=1，则 xx2?y3?8?. 323x?yy19、已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中 点分别为M、N. （1）求证：直线MN必过定点； （2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程. 20、如图3，O1、O2相交于M、N两点，点A在O1上，射线AM、AN交O2于B、C两点，记O1面积为S1，O2面积为S2，△ABC外接圆面积为S，问：在什么条件下才能有S= S1＋S2，请作出判断并加以证明. 30