例9(★★★)如果下面这个41位数555???5?999???9能被7整除，那么中间方格内的数字是几？ ??????????20个520个9
例10(★★★)用0，1，2，?，9十个数字，各用1次，组成一个十位数。将这个十位数依次分成三段，每一段不少于三位数。第一段的数分别能被1，2，3整除；第二段的数分别能被4，5，6整除，第三段的数分别能被7，8，9整除，那么第一段的数是多少？（只要求写1个答案）
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1．在25□79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填____。 2．在下式□中分别填入三个质数，使等式成立。 □+□+□=50
3．有55块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分到糖多少块？
4．把7，14，20，21，28，30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 5．一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数51x，求x是多少。
6．用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除??前九位能被9整除。已知第七位是7，求这个九位数。
7.173□是个四位数，在□中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11，6整除，问先后填入的三个数字的和是多少。
8．在□内填上合适的数，使五位数7□36□能被15整除，共有几种不同的填法？
9．小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，且是符合条件中最小的一个。聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆起存折的密码吗？
10.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？
专题四 质数、合数及分解质因数
知识对对碰 1.概念
质数：一个数除了1和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。 合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。 互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。如12=2×2×3。这时2和3都是12的质因数。 2.性质
(1)任何大于1的合数都能表示成质数的乘积。 (2)1既不是质数，也不是合数； 质数有无限多个； 最小的质数是2；
在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数； 每个质数只有两个约数：l和它本身。
(3)如果一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。 (4)合数有无限多个； 最小的合数是4；
每个合数至少有三个约数。
(5)如果把相同的质因数合并为它的幂，则任意大于1的整数N只能唯一地表示成：
rnr1r2N?P它们分别是P1，P2，?，Pn的指数），此式称为Ⅳ的标准分解式。 1?P2????Pn;(r1,r2,???rn是自然数，
3.分解质因数的方法
主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。
名题典中典
例1(★)连续9个自然数中至多有几个质数？
例2(★)边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种？
例3(★)某小学六年级(4)班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组。老师与学生每人种同样棵数的树，一共种了364棵。问六(4)班有学生多少人，每人种树多少棵？
例4(★)五个相邻自然数的积是55440，求这五个自然数。
例5(★★)如图4-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上一个质数，它们的和是20，且每个小三角形顶点的数之和相等。问这6个质数的积是多少？
例6(★★)100×101×102×?×2001×2002的末尾有多少个连续的0？
例7(★★)已知p?q?1?x，其中p、q为质数，且P、q均小于1000，x奇数，求x的最大值。
例8(★★)a、b、c都是质数，如果(a +b)×(b+c) =342，求a、b、c。
例9(★★)问360中共有多少个约数。
例10(★★)一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。
例11(★★)把后面8个数14，30，33，35，39，75，143，169等分成两组，使每组中四个数的乘积相等。
例12(★★★)已知a×(b+c)=209，请把a,b,c各换成一个质数，使前面的等式成立。
魔法训练营
1.2340有多少个约数？
2．有两个质数的和是33，求这两个质数的积。
3．四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数三项的乘积是2910，这个学生得第几名？分数是多少？
4．已知自然数1111155555是两个连续奇数的积，这两个连续奇数的和是多少？ 5．原价5元一本的书，降低几角钱出售，共得款235元。那么售出书多少本？
6．有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，这是两个怎样的质数？ 7．a与b是两个大于1的自然数，a+2b，a+4b，a+6b，a+8b，a+10b都是质数。则a+b=____。 8．两个相邻自然数的积是1980，求这两个相邻的自然数。
9．在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字的总和是多少？
10.在乘积1000×999×998×?×3×2×l中，末尾连续有多少个零？
11.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成几个质数？ 12.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且这三个自然数的乘积是15400，求这三个自然数。
专题五 最大公约数和最小公倍数
知识对对碰
1. 基本知识
(1)约数与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。 如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。 自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。 (2)倍数与最小公倍数
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：[4，10] =20。 (3)求解方法
①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。 ②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。 2.性质
(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。
(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。 如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。 (3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
(4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例1(★)已知两个数分别是4和B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。
例2(★)一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？
例3(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？
例4(★)在1500 -8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？
例5(★)将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
例6(★)加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。
例7(★★)有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。
例8(★★)四(1)班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。问：这个班至少有多少个学生？
例9(★★)一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？
例10(★★)用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。a最大是多少？
例11(★★★)两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是_________。
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1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？
2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？
3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。学生人数在30～ 50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。
4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。
5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。求n最大是几。 6．一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。
7．六年级学生参加植树活动，人数在30和50之间。如果分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。六年级参加植树活动的学生有多少人？
8．用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？
9．某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。已知该班有得良，有
11的学生得优，有的学生231的学生得中，其余学生得下。该班学生人数不超过60人，该班得下的学生有多少人？ 7 10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？
11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛。
12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时？
13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。
14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？
逻辑学的用处
有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”