专题八 完全平方数
知识对对碰 1.基本概念
一个数如果是某一个整数的平方，那么就称这个数为完全平方数。 完全平方数具有下列性质
性质1：任何一个完全平方数的个位数字只能是0、1：4、5、6、9。 性质2：个位数字是2、3、7、8的数一定不是完全平方数。 性质3：奇数平方的十位数字必是偶数。
性质4：个位数字与十位数字均为奇数的数一定不是完全平方数。 性质5：完全平方数被2或3或4除的余数是0或1。 性质6：完全平方数被8除的余数为0或1或4。
性质7：在相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数。 2.判断完全平方数的方法
(1)完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。 (2)完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
(3)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数。 (4)末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数。
(5)个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 (6)任何偶数的平方一定能被4整除。
(7)任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 (8)一个完全平方数被3除的余数是0或1。 即被3除余2的数一定不是完全平方数。 名题典中典
例1(★)试问：在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数？ 例2(★)用300个2和若干个O组成的整数有没有可能是完全平方数？
例3(★★)已知一个自然数减去50是一个完全平方数，而这个自然数加上39也是一个完全平方数，求这个自然数。
例4(★★)能否找到一个自然数n，使得n和n+2004都是完全平方数。
例5(★★)一个四位正整数，加上400后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的个数是（ ） A. 8 B. 32 C. 64 D. 128
例6(★★)已知一个自然数的平方的十位数字是6，求这个平方数的个位数字是多少。 例7(★★)下式中的“香港”，“中国”均代表一个两位自然数，那么香港=________，中国=__________。
22
（香港）+1997=（中国）+1949
例8(★★)试证明在11，111，1111，?中没有完全平方数。
例9(★★★)一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数（如果它的十位数是零，就只用个位数字）去除这个四位数得到一个完全平方数（即一个自然数的平方），且这个平方数正好是四位数的前两位数加1后平方。试写出所有具有上述性质的四位数。
魔法训练营
1．试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
2．有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。
3．求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。 4．能不能找到自然数n，使凡，n +97都是完全平方数？ 5. 2904是否为完全平方数？
6．有多少个小于2004的数，使得它们与72相乘均为完全平方数？ 7．试证不论o、6是什么整数，35a -45b +2都不可能是完全平方数。
高僧下棋
在古代印度，一位高僧十分精通棋术，国王正好也喜欢下棋。有一天，国王把这位高僧召到宫里，要与他对奕。国王对他说：“听说你棋术十分高超，所以把你请来与我下棋。你不要因为我是国王就不敢赢我，你要拿出真本事来。如果你赢了我，我可以答应你提出的任何条件。”高僧说：“既然陛下恩准，我就斗胆与陛下下上几盘。不过如果我赢了你，我只有一个小小的要求。”国王说：“刚才我说了，你可以提任何条件，我将满足你的要求。”高僧说：“我的要求很简单，这棋盘上不是有64个格吗？我赢你一盘，你在第一个格给我一粒米，赢两盘，第二个格里给我两粒米，赢三盘，给我四粒米，四盘给我八粒米??每一盘都比前一盘多一倍，直到这第六十四格。”国王一听哈哈大笑，说：“这还不容易，我国库里有的是米，这点米连九牛一毛也没有。”高僧说：“陛下可不要反悔。”国王说：“一言为定。”于是两人就下起棋来，结果高僧赢了30盘。 你猜国王应该给高僧多少米？
专题九 棋盘中的数学
知识对对碰
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘(如图9-1(1)) ，围棋盘(如图9—1(2))，还有国际象棋棋盘(如图9-1(3)) 。以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称为棋盘中的数学。
名题典中典
例1(★★)这是一个中国象棋盘，（图9-2中小方格都是相等的正方形，“河界”的宽等于小正方形的边长）黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置。 问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
例2(★★)如图9-4是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个方阵时，尚余12枚棋子，如果要将这个方阵改摆成每边各加一枚棋子正方阵，则差9枚棋子才能摆满。问：这堆棋子原有多少枚？
例3(★★)如图9 - 6(1)是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入。请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。
例4(★★)国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子（中间没有棋子的情况下），如图9 -7(1)上虚线所示。如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉。那么，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？
例5(★★)如图9-8是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制二下（要符合象棋规则，“相”走“田”字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置。“马”走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）。
例6(★★★)如图9 - 10(1)，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到8，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法。
例7(★★★)围棋盘上横竖各有19条线（如图9 -12），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘面积的
1）。 4魔法训练营
1. 如图9-16是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？
2．如图9 -17是象棋盘的一部分，一个小卒过河后沿最短的路线走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法。
3．如图9 -18表示某城市的街道图，若从A走到日（只能由北往南，由西向东），问共有多少种不同的走法。
4．图9 -19是一个道路图，4处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C?
5．如图9 -20，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子为顶点的正方形共有多少个？
6．从8x8的方格棋盘（图9-21）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（种不同的取法。
，可旋转），问有多少