“当然是脏的那个。”学生说。
“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡！” 这就是数学家的逻辑学。
专题六 带余除法及同余
知识对对碰
1.如果a是整数，b是自然数，必有唯一的整数q和唯一的整数r,使得： a =b×q +r(r 其中r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。 一个整数a除以自然数b时的余数只有0，1，2，3，?，b-1这b种可能。 2.在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么，余数也能被这个自然数整除。 3.在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。 4.如果两个整数a,b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a,b对于m是同余的，记作a≡b( modm ) 5.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。 6.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 7.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 8.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。这个余数也叫做这个数的“弃九数”或“九余数”。 9.同余的主要性质： (1)反射性a≡( modm); (2)对称性若a≡b(modm )，则b≡a( modm ) ; (3)传递性 若a≡b(modm), b≡(modm) ,则a≡c(modm) ; (4)若 a≡b(modm ),c≡d(modm) ,则a+c≡b+d(modm), a-c≡b-d(modm), ac≡bd(modm) 名题典中典 例1(★)一排吊灯，3个3个地数剩2个，4个4个地数剩3个，6个6个地数剩5个，这排吊灯至少有多少个？ 例2(★)四盏灯如图6-1所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色??，这样一直进行下去，请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？ 例3(★)523除以一个数所得的不完全商是10，并且除数与余数的差是5，求除数和余数。 例4(★)自然数m除13511、13903和14589，余数都相同，m的最大值是多少？ 例5(★★)一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 89 例6(★★)求143除以7的余数。 例7(★★)555????55?73的余数是多少？ ????555个5 例8(★★★)70个数排成一排，除了两头的两个数以外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，?问：最右边的一个被6除的余数是几？ 例9(★★★)两个代表团从甲地乘车到乙地。每辆车可乘35人。两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的成员15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。会后，第一个代表团的每个成员分别与第二个代表团的每个成员都拍一张照留念。如果每个胶卷可拍35张照片。那么第一个代表团的每个成员拍完照片后，相机中的胶卷还可拍几张照片？ 魔法训练营 1．一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是_______。 3 2. 1998除以7余数是( ) A．1B.2 C.3 D．6 3．求乘积34×37 ×41×43除以13所得的余数？ 364 4．今天是星期五，再过365天是星期几？ 5．用一个正整数去除另一个整数，商是33，余数是52，已知被除数、除数、商、余数的和是2143，求被除数和除数各是多少。 6．某班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人，如果每7人一组就多出4人，问这个班至少有多少个学生。 7．四位数2 □ 81被17除余3，则百位数字□应该代表几？ 8．一个两位数被它的各位数字的和去除能得到的最大余数是多少？ 9．两个整数相除，商是12，余数是8，并且被除数与除数相差822，求这两个整数。 10.小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰好相同，那么，该题的余数是多少？ 11．一个布袋中装有小球若干个，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个，布袋中至少有小球多少个？ 12.所有自然数如图6-2排列，问300位于哪个字母下面。 55553333 13.求3333+ 5555被7除的余数。 添添看 在“999”中添一个数字，使形成的四位数可以被四位数“1357”整除。你知道这个数字是几吗？ 好，告诉你，它是“4”，即“9499”。 验证：9499÷1357 =7 在“888”中添上两个数字，形成的五位数可以被“1357”整除，有趣的是得数就是你所填写的那两个数构成的两位数。 好了，你来添添看！ 专题七 分数计算 知识对对碰 1. 有关概念 最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，也叫做既约分数。 分数化简：根据分数的基本性质，把一个分数化为最简分数的过程，叫做分数化简。 约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数（1除外），化成与原来分数相等的分数，这种运算叫做约分。 2.分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数值的大小不变。 分数的基本性质是通分的基础和依据。 3. 约分方法 (1)逐次约分法。把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数，直到得出一个最简分数为止。 (2)一次约分法。把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就得到一个最简分数。 (3)辗转相除法。当分子和分母都比较大时，一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分。 4. 比较分数的大小 bdbd和来说，如果bc?ad，则?; acacbd如果bc?ad，则?; acbd如果bc?ad,则?。 ac对于分数 名题典中典 例1(★)一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母不变，分数值会发生什么变化？如果分数的分母扩大为原来的2倍，分子不变，分数值会发生什么变化？ 例2(★)计算：625?379?( 例3(★)计算：( 例4(★)化简： 例5(★)化简： 例6(★)计算： 4?0.01) 251153??)?48 1264252525252252 ?5255255252521?2?3?2?4?6?4?8?12?7?14?21 1?3?5?2?6?10?4?12?20?7?21?3512?3?564?78 例7(★)把下面各分数化成小数。 917112411 20202525125例8(★)比较 3333122224和的大小。 33335222274，求原分数。 5例9(★)一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，如果分母加3，这个分数是例10(★★)分母是1998的最简真分数有多少个？ 例11(★★)比 21大，比小，分子是17的分数共有多少个？ 73魔法训练营 1．写出所有分子是l，分母是两位数，而且只能化成不循环部分有一位数字、循环节最少位数是2的混循环小数的分数来。 2．指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？有限小数的位数、不循环部分数字的个数、循环节最少位数各是几？ 47558833 ,,,,,505371277144011111 ??????1?32?43?54?698?100198919884．不求值比较1991和19921989?19891988的大小。 ?199019901991199019912943375．要使成立，那么A最多可能表示为多少个不同的自然数？ ??37A4334171001516．在分数,,中，最大数是哪一个？ ,,79352013012181911523477．比较和的大小。 6543214567893．计算： 8．比1大，比2004小，分母是10的最简分数有多少个？ 9．观察下面一串分数： 171121231234，则是第几个分数？ ,,,,,,,,,,?30121321432110.分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？ 11.分母是20的所有最简真分数的和是多少？ 12.化简： 1?2?3?2?4?6?3?6?9?4?8?12?5?10?15 1?1?2?2?2?4?3?3?6?4?4?8?5?5?1013.化简： 100个2003?????????2003?20032003?200320032003???200320032003?2003 2004?20042004?200420042004???200420042004????2004????????100个200414.分子与分母都是不为0的自然数，而且分子、分母的和是十位上数字为2的两位数的质数，如果分母增加17，则得到的新分数化简后得15． 1，求原来的分数？ 7a?7是最简真分数，a可取的整数有多少个？请写出从小到大排的第五个数。 48