一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程 B．近似方法 C．边界条件 D．附加假定
2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）
的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．几何上等效 B．静力上等效 C．平衡 D．任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同 B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同 C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。
444?Φ?Φ?4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为4?222?Φ?0， 4?x?x?y?yqx2?y3y?qy2?y3y????43?3?1??23??6、设有函数??， ???4?hh?5?hh??（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15分）
解：
444?Φ?Φ?（1）将φ代入相容方程4?222?Φ?0，显然满足。因此，该函数可以作为4?x?x?y?y应力函数。
Oh/2h/2xy（2）应力分量的表达式：
?x?y?xy
?2?6qx2y4qy33qy????,2333h?yhh??2?q?4y33y???????123??2h?x?h???2?6qx?h22?????3??y???x?yh?4?
考察边界条件：在主要边界y＝±h/2上，应精确满足应力边界条件
??????yy??h2q?4y33y????3??1???q ?2?hh??y??h2yy?h2q?4y33y????3??1??0 ??2?hh?y?h2???xyy??h26qx?h22????3??y?0 ?4h???y??h2在次要边界x＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
?4qy33qy???h/2??x?x?0dy???h/2??h3?3h??dy?0??h/2h/2(奇函数)
?4qy33qy???h/2??x?x?0ydy???h/2??h3?3h??ydy?0??h/2h/2
????h/2?h/2xyh/2x?0dy?0
在次要边界x＝l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
?6ql2y4qy33qy???h/2??x?x?ldy???h/2???h3?h3?3h??dy?0??h/2h/2h/2(奇函数)
?6ql2y4qy33qy?ql?????ydy????ydy??33??h/2xx?l??h/2?hh3h?2??
6ql?h22??????dy???y??ql??h/2xyx?l??h/2h3???4?h/2h/2
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发
生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。
2009 ~ 2010学年第 二 学期期末考试试卷 （ A ）卷
一． 名词解释（共10分，每小题5分）
1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。
1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有
哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：
平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量?x,?y,?xy存在，且仅为x,y的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量?x,?y,?xy存在，且仅为x,y的函数。 2. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数?求解，应力
函数?必须满足哪些条件？
答：（1）相容方程：???0
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s?s?）：
4???l?x?m?yx?s?fx????m?y?l?xy?s?fy?在s?s?上?
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 二． 问答题(36)
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚??1）
图5-1
解：在主要边界y??h2上，应精确满足下列边界条件：
???时，
yy??h2??qxl，?yx??y??h2?0； ?y??y??h2?0，?yx??y??h2??q1
在次要边界x?0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚??1??h2??x?x?0dy??FN，??h2??x?x?0ydy??M，??h2??xy?x?0dy??FS
?h2?h2?h2在次要边界x?l上，有位移边界条件：?u?x?l?0，?v?x?l?0。这两个位移边界条
件可以改用三个积分的应力边界条件代替：
?????????h2?h2?h2xy?h2xx?0dy??FN?q1lql 2，
ql2qlh??h2??x?x?0ydy??M?FSl?6?2?h2，
dy??FS?x?02. （10分）试考察应力函数??cxy，c?0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计
体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
3图5-2
3
?4??4??4?解：（1）相容条件：将??cxy代入相容方程?222?4?0，显然满足。 4?x?x?y?y?2?2（2）应力分量表达式：?x?，， ?6cxy??0???3cyyxy2?y
（3）边界条件：在主要边界y??h上，即上下边，面力为?y2??y??h2??3chx，
32??ch xyy??h24在次要边界x?0,x?l上，面力的主失和主矩为
?????h2???h2??x?x?0dy?0??h2????h2??x?x?0ydy?0???h2???dy???h23cy2dy??ch3xyx?0??h2?4???h2
??h2???dy??h26clydy?0??h2???h2xx?l??h2?h2clh3?2 ???h2??x?x?lydy???h26clydy?2??h2c3??h22???dy??3cydy??hxyx?0????h2?h24?弹性体边界上的面力分布及在次要边界x?0,x?l上面力的主失量和主矩如解图所示。
3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为?，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3
所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量?x?0 ）
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量?x?0，
(1) 假设应力分量的函数形式。?x?0
(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为fx?0,fy??g。将?x?0代入应