???2??2?力公式?x?有对积分，得?f?x?， ???0xx22?y?y?y（a）
??yf?x??f1?x?。 （b）
其中f?x?，f1?x?都是x的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程??0，得
4d4f?x?d4f1?x?y??0 44dxdx这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满
d4f?x?d4f1?x??0，?0，两个方足），可见它的系数和自由项都必须等于零。44dxdx程要求
f?x??Ax3?Bx2?Cx，f1?x??Dx3?Ex2 (c)
f?x?中的常数项，f1?x?中的一次和常数项已被略去，因为这三项在?的表达式
中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数
??yAx3?Bx2?Cx?Dx3?Ex2 (d)
（4）由应力函数求应力分量。
?????2??x?2?xfx?0， (e)
?y?2??y?2?yfy?6Axy?2By?6Dx?2E??gy， (f)
?x?xy?2?????3Ax2?2Bx?C. (g)
?x?y(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边x??b2的主要边界条件：
??x?x??b2?0，??xy?x??b2?0，??xy?x??b2?q。
将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：
??x?x??b2?0，自然满足； ?xy??x??b2??32Ab?Bb?C?0 (h) 4???xyx??b2??32Ab?Bb?C?q (i) 4q （j） 2b由（h）（i） 得 B??
考察次要边界y?0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为
?????b2?b2yy?0dx???b2?b2?6Dx?2E?dx?2Eb?0； 得 E?0
Db3??b2??y?y?0xdx???b2?6Dx?2E?xdx?2?0， 得 D?0
?b2?b2qAb3??2 ?? ?xy?dx????3Ax?x?C?dx???bC?0 （k）?b2?b2y?0b4???b2?b2由（h）（j）（k）得 A??qqC?,
4b2将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为：
?x?0，?y??6qqq2qq??3x?x?xy?y??gy， xy22bb4bb填空题（每个1分，共10×1=10分）。
1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。
2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。
1．平衡微分 几何 物理 应力 位移 2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形 一、单项选择题（每个2分，共5×2=10分）。
1. 关于弹性力学的正确认识是 A 。
A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。
B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题
作假设。
C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。
D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律。
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。 C. 本构关系为非线性弹性关系。
D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 3. 所谓“应力状态”是指 B 。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。
B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。 C. 3个主应力作用平面相互垂直。
D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 4．弹性力学的基本未知量没有 C 。
A. 应变分量。
B. 位移分量。 C. 面力分量。 D. 应力分量。
5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。
A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。 B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。
C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意
平移。
D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应
力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。
二、计算题（共15分）
如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为?的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界条件。
解：在平面应力边界条件下，应力须满足
???xl??yxm?fx????xyl??ym?fy
（1） ………………………………(5)
在x?ytg?表面处，l?cos?， ………………………………(1)
m??sin?； ………………………………(1)
fx?0， ………………………………(1)
fy?0 ………………………………(1)
代入公式（1），得
??xcos???yxsin??0 ………………………………(1) ???xycos???ysin??0在x??ytg?处，l??cos?， ………………………………(1)
m??sin?； ………………………………(1)
fx??ycos?， ………………………………(1)
fy??ysin? ………………………………(1)
代入公式（1），得
???xcos???yxsin???ycos? ………………………(1) ???cos???sin???ysin?y?xy
四、计算题（共10分）
试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？
?x?Axy，?y?By3，?xy?C?Dy2；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
22?2?x??y??xy ………………………………(4) ?2??y2?x?x?y将各分量分别代入，得
?2?x=0， ………………………………(2) 2?y?2?y?x?2?xy2=0， ………………………………(2) =0 ………………………………(2)
?x?y无论A、B、C、D取何值，都满足形变协调条件。
基本概念解释（24分，6小题） （1） 弹性力学的基本假定 （2） 平面应变问题 （3） 平面应力问题 （4） 圣维南原理 （5） 逆解法
1、 简单题（40分，4题） (1) 列出图示全部边界条件。
(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程 A： ??
F4222xy(3h?4y) 32hqx2y3yqy2y3y(43?3?1)?(23?) B：??4h10hhh(3) 根据圣维南原理，比较图示中OA边的面力是否等效，h??b。
2、 综合题（36分）
（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，l??h，试
用应力函数??Axy?By2?Cy3?Dxy3求解应力分量。
（2） 矩形截面的长柱，密度为?，在一边侧面上受均布正应力q，试求应力分量，体力
不计。