⑷
y?cosx?2x3x
解：
y???cosx?2x??x3??cosx?232x?x?2??x?? ?3x(?sinx?2ln2)?3(cosx?2)x4xx
⑸y?lnx?xsinx
解：
y??4?lnx?x2??sinx??lnx?xsin22??sinx???sinx(1x?2x)?(lnx?x)cosxsin22xx
⑹y?x?sinxlnx
解：y??x?????sinx??ln4sinx?3?cosxlnx x?sinx?lnx??4x?x⑺y?sinx?x3x2
解：
y??x?sinx?x2??3x??sinx?xx22??3??x?3??3(cosx?2x)?(sinx?x)3ln332xx2x
⑻y?etanx?lnx
解：y???ex??tanx?ex?tanx????lnx???etanx?xecosx2x?1x
⒉求下列函数的导数
xy?：
⑴
y?e
解：
y??e????e??xx?12x?12?12xex
⑵y?lncosx
解：y??1cosxx7??sinx???sinxcos??tanx
⑶y?xx
?解：y???x8??
??178???x ?8?6
⑷y?sin2x
?解：y??2sinx?sinx??2sinx?cosx?2sin2x ⑸y?sinx
2解：
y??cosx?2x?2xcosx
x22⑹
y?cose与13年的题目不一样13年的题y?cosex
解：
y???sinenx2?e???2xex2?x2sinex2？
⑺y?sinxcosnx
n解：y??sin⑻
??x?cosnx?sin
n?x?cosnx??nsinn?1xcosxcosnx?nsinnxsin(nx)
y?5sinx解：y??5sinxln5?cosx?ln5cosx5
sinx
⑼
y?ecosx解：
y??ecosx??sinx???sinxecosx
⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?： ⑴ycosx?e2y
2y解：y?cosx?ysinx?2e⑵y?cosylnx
y? y??ysinxcosx?2e2y
解：y??siny.y?lnx?cosy.1x y??cosyx(1?sinylnx)
⑶2xsiny?x2y
解：2xcosy.y??2siny?2yx?xy?y22 y?(2xcosy?xy22)?2yxy2?2siny y??2xy?2ysiny2xycosy?x22
⑷y?x?lny
7
解：y??y?yy?1 y??yy?1
⑸lnx?e2?y
解：
1x2?ey??2yy? y??y1x(2y?e)y
⑹y?1?esiny
esiny2y?ecosyxxx解：2yy??ecosy.y??siny.e y??xx
⑺ey?e?y
x3解：ey??eyx?3yy? y??2eexy?3y
2⑻y?5x?2
y解：y??5ln5?y?2ln2 y??xy5ln51?2ln2yx
⒋求下列函数的微分dy：（注：dy⑴y?cotx?cscx 解：y???csc⑵y?2?y?dx）
x?cscxcotx dy?(?1cosx2?cosxsinx2)dx
lnxsinx
1解：
y??xsinx?lnxcosxsin21
xdy?xsinx?lnxcosxsin2xdx
⑶y?sin解：
2x
y??2sinxcosx dy?2sinxcosxdx
x⑹y?tane 解：y??sec2e?e dy?secexx2x3?edx?exx3secedx
2x⒌求下列函数的二阶导数： ⑴
y?x 解：y??12x?121??1?? y???????x2??x2
2?2?4133 8
⑵y?3
解：y??3ln3 y???ln3?3?ln3?ln⑶
xx2x3?3
xy?lnx
解： ⑷
y??1x y????1x2
y?xsinx
y??sinx?xcosx y???cosx?cosx?x??sinx??2cosx?xsinx
解：
（四）证明题
设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)
两边导数得：f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x) 所以f?(x)是偶函数。 高等数学基础形考作业3答案：
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)? A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导
C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数f(x)?x2f(b)?f(a)b?a．
?4x?1的单调增加区间是（D ）．
A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
9
⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值． A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空题
⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 点．
⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ． ⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是(??,0)． ⒋函数f(x)?ex22的单调增加区间是(0,??)
⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是?0,2?
3（三）计算题
⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值． 解：令
2y???x?5??(x?1)?2?(x?5)?3(x?5)(x?1)
2?驻点x?1,x?5
列表： 极大值：
X (??,1) + 上升 1 0 极大值32 (1,5) — 下降 5 0 极小值0 (5,??) + 上升 y? f(1)?32
y 极小值：f(5)?0
⒉求函数y?x?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 解：令：y??2x?2?02?x?1(驻点），列表：
1 0 极大值2 （1,3） — 下降 + x y? y （0,1） 上升 10