y?x2?2x?3??x?1?2?2
f(0)?3f(3)?6f(1)?2
?极值点：f?1??2
?最大值f(3)?6 ?最小值f(1)?2
3.求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．
解：设p(x,y)是y2?2x上的点，d为p到A点的距离，则：
d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x
令d??2(x?2)?2x?1x?1?y??2
2(x?2)2??2x(x?2)2?0??2x?y2?2x上点(1,2)或?1，-2?到点A(2,0)的距离最短。。
4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h??(L2?h2)h
令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?0?L?3hR?223L?当h?33,R?3L时其体积最大。
5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h SV表面积?2?Rh?2?R2?2R?2?R2
令：S???2VR?2?4?R?0?V34V2??R3?R?3V2? h??
答：当R?3V2? h?34V?时表面积最大。
6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为x，高为h。则：
62.5?x2h?h?62.5x2
11
h?33L 侧面积为：S?x令S??2x?2?4xh?x??02250x3
250x2?x?125?x?5
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 （四）证明题
⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：在区间1,1?x上对函数??f?x??lnx应用拉格朗日定理，有
ln?1?x??ln1?11?x
其中1???1?x,故??1，于是由上式可得x?ln(1?x)
⒉当x?0时，证明不等式e证：设f(x)?exx?x?1．
?(x?1)
xf?(x)?e?1?0(当x?0时）?当x?0时,f(x)单调上升且f(0)?0
?f(x)?0,即e?(x?1)
高等数学基础形考作业4答案：
第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题 ⒈若f(x)的一个原函数是 A. lnx B. ?C.
⒉下列等式成立的是（D）． A
x1x12，则f?(x)?（D）．
1x D.
x23x
?f?(x)dx?f(x) B.
?df(x)?ddxf(x)C.
d?f(x)dx?f(x) D.
⒊若f(x)?cosx，则
?f(x)dx?f(x)
?f?(x)dx?（B）．
A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c
12
⒋
?xdx13d2f(x)dx?（B）．
233 A. f(x) B. xf(x) C.
3f(x) D.
13f(x)
3⒌若
?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B）．
A. F(x)?c B. 2F(x)?c
C. F(2x)?c D.
1xF(x)?c
⒍下列无穷限积分收敛的是（D）．
A.
???1x1dx B. 1x???0edx 1x2xC.
???1dx D.
???1dx
（二）填空题
⒈函数f(x)的不定积分是
?f(x)dx。
⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)?G(x)?c(常数）。 ⒊de?x2dx?ex2。
⒋
?(tanx)?dx?tanx?c。
⒌若
?3f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)。 (sin5⒍
??3x?12)dx?3 1xp⒎若无穷积分（三）计算题
???1dx收敛，则p?0。
cos⒈
1x2??exdx???cosx111d()??sin?c xxxx?2exx⒉
x1dx?2?edx?d?c
⒊
?xlnx?ln1xd(lnx)?ln(lnx)?c
13
⒋
?xsin2xdx???e12e?xd?cos2x???12xcos2x?1212?cos2xdx??e112xcos2x?14sin2x?c
⒌
3?lnxx1dx??121(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)?72
⒍
??10xe?2xdx??1e?2x1x0?1?2x10e?2xdx??112ee?2?14e2e?2x1??034ee?2?14
⒎
exlnxdx??e2lnxdx2e?lnx??1?12xdx???e?121??e? 121212122??21??4ee⒏
?lnxdx??1lnx?e1dx??11ex2x1?1x2e?x??211e?1
（四）证明题
⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则?a)d
?af(xx?0．证:
令x??t?a?a?af(x)dx???af(?t)dt??a?af(?t)dt??a?af(t)dt
??a?af(x)dx???a?af(x)dx??a?af(x)dx?0 证毕
⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则
?a?af(x)dx?2?af(x)dx．
0a)dx??0a证：
??af(x?af(x)dx??0f(x)dx
令x??t,则?00a?af(x)dx???af(?t)dt??0f(t)dt?f(x)是偶函数
?a0x)dx??aa?af(x)dx???af(0f(x)dx??0f(x)dx??a0f(x)dx?2?a0f(x)dx
14
4证毕