高中物理知识汇总----------二级规律------------方法*技巧*易错*易混 最小距离？
θ╭ （图1）
解：建立一平面直角坐标系，令其坐标原点与A点重合，X轴沿AB方向，取两质点分别位于A、B两位置时时刻t=0，则任一时刻t，甲质点的位置坐标为：
x1?V1ty1?0 乙质点的位置坐标为：
x2?L?V2cos??ty2?V2sin??t
以r表示时刻t时甲、乙两质点间的距离，则有：
r2?（x2?x1）?（y2?y1）?（L?V2cos??t?V1t）?（V2sin??t） ?（V1?V2?2V1V2cos?）t?2L（V1?V2cos?）t?L22222222
当甲、乙两者间的距离最小时，r2之值也为最小，由二次函数的极值公式可知：
当t?L（V1?V2cos?）V1?V2?2V1V2cos?2222时，r有最小值为2：
2222rmin2（V1?V2?2V1V2cos?）L?L（V1?V2cos?）LV2sin???2222（V1?V2?2V1V2cos?）V1?V2?2V1V2cos?22
此过程中甲、乙两质点间的最小距离为: rmin?2、利用一元二次方程判别式求极值
LV2sin?V1?V2?2V1V2cos?22
若所求的物理量的表达式为二次函数y?ax2?bx?c （a≠0）的形式，将表达式整理得方程
ax2?bx?c?y?0，要使方程有解（或无解），即该方程的根判别式法
22??b?4ac?b?4a(c?y)?0 （或<0）由此求极值
例2、如图2所示， 位于水平面的两条金属导轨AB、CD相距为L，按图所示与电源电动势E和电阻R相连接，金属棒MN垂直置于导轨上，并在上面滑动，其他所有电阻不计，并加有竖直向下的匀强磁强B，通电金属棒在磁场力的作用下由静止开始向左运动，最后以速度V匀速运动，设摩擦力不变，且大小为f，问B为多大时，V有最大值，此时V的最大值又是多少？ M
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高中物理知识汇总----------二级规律------------方法*技巧*易错*易混 A B ××××××××××× R ××××××××××× C ××××××××××× r=0 C D N
（图2）
解： 设最大速度为V时，金属棒电流为I，感应电动势为E1，磁场力为F
则E1?BLV ?I?E?E1R?E?BLVR 而F?BIL?BE?BLVRL
由于V为最大时有 F?f ?ELB?B2L2V?Rf
即 L2B2V?ELB?Rf?0 从上式可见，这是一个含有参数V的关于B的一元二次方程
?B?EL?EL?4RfLV2LV2222?E?E2?4RfV2LVE2
要使上式有意义，判别式??的条件为：??0
V?E2?4RfV ，必须大于或等于零，进一步分析可知，速度达到最大
4Rf B?2RfLE 故当B?2RfLE时，速度达到最大且为V?E24Rf
3、利用不等式求极值
1、如果a，b为正数，那么有：a?b?2ab ，当且仅当a=b时，上式取“=”号。
推论：①两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。
②两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。
2、如果a，b，c为正数，则有a?b?c?3abc ，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。推论：①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。
②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。
例3、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图3所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，
B
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O θ L A T C α θ v mg 高中物理知识汇总----------二级规律------------方法*技巧*易错*易混 重力的功率为：P=mg υcosα=mgυsinθ????① 小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：
mgLcos??12mv2?????② （图3）
解①②可得：P?mg2gLcos?sin2? 令y=cosθsinθ
?y?cos?sin22??212(2cos?sin224?)2?212(2cos??sin22??sin2?)
又?2cos??sin??sin??2(sin??cos?)?2
22根据基本不等式a?b?c?3abc，当且仅当2cos??sin?，y有最大值
由2cos??1?cos?得：cos??2233 结论：当cos??33时，y及功率P有最大值。
4、利用三角函数的有界性求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。若所求物理量表达式可化为“y?Asin?cos?”的形式，可变为y?当??45?时，y有极值
A212Asin2?，
。
例4、如图4所示,跨度为b的房顶是等腰三角形,假定雨 点与屋面之间无摩擦,设屋面与水平面之间的夹角为θ, 雨点从房屋顶端静止开始下滑,求:θ多大时雨点下滑 到底端所用时间最短?
此题的关键是找出雨点从房屋顶端滑至底端所用时间与夹角θ的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。
解：设房屋斜面倾角为θ时，斜面长为S， 由图知S?由匀变速运动规律得：S?12at2BB b2cos?…………①
…………②
由牛顿第二定律得： mgsinθ=ma…………③ 联立①②③式解得：t?2Sa?bgsin?cos??2bgsin2?
可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，即θ=45o时 , sin2θ有最大值，t有最小值。
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高中物理知识汇总----------二级规律------------方法*技巧*易错*易混 即θ=45°时，有最短时间为：tmin?2bg 5、利用“化一”法求三角函数极值
对于复杂的三角函数，例如y?asin??bcos?，要求极值时,先需要把不同名的三角函数sin?和cos?，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”。
?y?asin??bcos??a?b(22aa?b22sin??ba?b22cos?)
ba?a?b(cos?sin??sin?cos?)?22a?bsin(???)22其中tan??
故y的极大值为a2?b2。
例题5、如图所示，物体放置在水平地面上，物体与水平地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
图
该题的已知量只有μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角θ有关的关系式再作分析。
解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即Fcos??f?0……① N?Fsin??G……②
f??N…………③ 由联立①②③解得：
?G?F??G1??(sin?cos??cos?sin?)2?sin??cos?1??G1??sin(???)2,
N 其中tan???, ∴Fmin??1??2G
F 6、利用向量求极值
f mg θ 向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。
例6、如图6所示的电灯，用细绳OB将它偏离竖直方向，使电线AO跟天花板成θ角，今保持θ角不变，改变OB的方向，问OB在什么方向上其受力最小？
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高中物理知识汇总----------二级规律------------方法*技巧*易错*易混 （图6） 解析：从图上可以看出，将重力mg分解为F1和F2，当OB绳方向改变时与F2平行的那条虚线的位置是不变的，F1的矢量总是在这条线上移动。由几何知识可知，由一点到一条直线作的诸线段中以垂线为最短，所以只有当F1垂直于F2时，也就是OB跟OA相垂直时，OB绳受到的拉力最小，且Fmin=mgcosθ
7、利用数学求导的方法求极值
如果当Δx→0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果f '(x0) =0, 则在x0处函数有极值
例7、如图7所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q，在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？
解：由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时，由图Q 可知
F合?2F1sin??2kQq(L/cos?)2F2 D θ F1 + A θ L C ·L Q + B 2sin? 故其加速度为：
a?F合m?2kQqsin?cos?mL2?2kQqmL2(sin??sin3?)
发现加速度是一个关于θ的函数，令f(?)?sin??sin3?
则f(?）的导数为f'(?)?cos??3sin令f'(?)?0,即cos??3sin解得：sin??3322?cos?
?cos??0
，（??900有极值,不合题意）
3?3?2?????3?39??4KQq9mL23即??arcsin33时，f(?)有极大值为3
所以当??arcsin33时，加速度有最大值为：
3
8、利用几何圆求极值
例8、如图8所示，一条河宽为d=200m，
小船在静水的速度V1=2m/s，水流速度V2=4m/s，求小船过河的最短位移。
解：由于水流速度大于船在静水中的速度，所以，小船不可能垂直过河，最短位移不再等于
河宽。本题用矢量图示并结合圆进行分析，比较容易理解和求解最短位移。小船的合速度沿圆的切
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