二次函数中考应用题及答案
二、例题
例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
简解：
(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2
+3.5。又由于抛物线过(1.5，
3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2
+3.5。
(2)当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。
评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；
(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；
(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式
y=ax2
+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式
y=a(x-k)2
+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。
例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
解：(1)依题意设y=kx+b，则有
所以y=-30x+960(16≤x≤32)．
(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) =30(-x+32)(x-16) =30(+48x-512)
=-30
+1920．
所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．
例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米， 解：(1) 设二次函数的解析式为
，顶点坐标为 (6，5)
)
A(0，2)在抛物线上
(2) 当
时，
(不合题意，舍去) （米）
答：该同学把铅球抛出13.75米.
例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价 （元/件）可看成是一次函数关系：
1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中，每件服装的利润为（
），而销售的件数是（
+204），那
么就能得到一个 与之间的函数关系，这个函数是二次函数. 要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.
解：（1）由题意，销售利润 与每件的销售价之间的函数关系为 =（ －42）（－3＋204），即 =－3 （2）配方，得 =－3（－55）+507
∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元.
例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动
2
2
+ 8568
作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，
运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空
中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 并通过计算说明理由
米，问此次跳水会不会失误？
分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个
点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为.
（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距
池边水平距离为米. 时，该运动员是不是距水面高度为5米.
解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为
.
由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为.
解得 或
∵抛物线对称轴在轴右侧，∴ 又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0
∴抛物线的解析式为
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，
即 时，
∴此时运动员距水面的高为 因此，此次跳水会失误.
例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前
有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系： 转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 价格（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 解：经销商甲的进货成本是=
=480000（元）
①若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元）
若选方案2，得转让款1200 240=288000元，可进购B品牌服装 一年内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。
套，
②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套 元，可进购B品牌服装
套，全部售出B品牌服装后得款 元，此时还剩A品牌服装
（1200-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利
，故当x=600套时，
可的最大利润330000元。
三、练习题： 1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价
（元）满足一次函数：
与每件的销售价间的函数数关系式.
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大