习 题
1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r?R(cosωti?sinωtj)
其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由r?R(cosωti?sinωtj)知
st x?Rcoωωt y?Rsin 消去t可得轨道方程 x2?y2?R2 2） v?dr??ωRsinωti?ωRcoωstj dt12ωt)2?(ωRcosωt)2] v?[(?ωRsin?ωR
1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时刻的速度。
解：1）由r?4t2i?(3?2t)j可知
x?4t2
y?3?2t
消去t得轨道方程为：x?(y?3)2
2）v?dr?8ti?2j dt1100Δr??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j
3） v(0)?2j v(1?)8i?2j
1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?t2i?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
dr?2ti?2j 解：1）v?dtdv?2i a?dt2）v?[(2t)2?4]12?2(t2?1)2 at?1dv?dt2tt?12
an?a2?at2?2 2t?1
1-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
1 y1?v0t?at2 （1） 图 1-4
21 y2?h?v0t?gt2 （2）
2 y1?y2
（3）
解之 t?2dg?a
1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求： （1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
drdvdv（3）落地前瞬时小球的，，.
dtdtdt解：（1） x?v0t 式（1）
1y?h?gt2 式（2）
21 r(t)?v0ti?(h-gt2)j
2gx2（2）联立式（1）、式（2）得 y?h?22v0 （3）
dr?v0i-gtj 而 落地所用时间 t?dt
2h g 所以
drdv?v0i-2ghj ??gj dtdt22v0?(?gt)2 v?v2x?vy?g2ghg2tdv?? dt[v2?(gt)2]12(v2?2gh)1200
1-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1 ，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得 图 1-6
x2h?1 而 x1?v0t
x2?x1h2所以，人影中头的运动方程为
x2?h1x1h1t?v0
h1?h2h1?h2人影中头的速度 v2?dx2h1?v0 dth1?h21-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t2(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
dx?4?4t 若v?0 解的 t?1s 解：v?dt ?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m ?x??x1??x2?10m
1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面对水平的倾角
??30?，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射
角)。
图 1-8
解：小球落地时速度为v0?2gh 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图
vx0?v0cos600 x?v0cos600t? vy01gcos600t2 （1） 21 ?v0sin600 y?v0sin600t?gsin600t2 （2）
2第二次落地时 y?0 t?2v0 g22v0102所以 x?v0cos60t?gcos60t??0.8m
2g0
1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为
3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g?R?2
3.4?10?2 现在赤道上物体???
R
1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
?9.8??17 ??3.4?10?2