minP??pi(xi)i?1n （8.9） ?ncx?C??ii?i?1?x?0并且为整数，i?1,2,?,n?j 利用式(8.8)或（8.9）求解下列问题。
（1）工厂设计的一种电子设备，其中有一系统由三个电子元件串联组成。已知这三个元件的价格和可靠性如表8-27所示，要求在设计中所使用元件的费用不超过200元，试问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
表8-27
元件 1 2 3 单价 40 35 20 可靠性 0.95 0.8 0.6 （2）公司计划在5周内必须采购一批原料，而估计在未来的5周内价格有波动，其浮动价格和概率根据市场调查和预测得出，如表8-28所示，试求在哪一周以什么价格购入，使其采购价格的期望最小，并求出期望值。
表8-28
单 价 550 650 800 900
【解】（1）数学模型为
概 率 0．1 0．25 0．3 0．35 maxZ?(1?0.05x1)(1?0.2x2)(1?0.4x3)?40x1?35x2?20x3?200??x1,x2,x3?0并且为整数
最优解X=(1，2，4)；可靠性Z=0.888653，总费用190。
（2）
设阶段k，可按采购期限分为5段，k＝l，2，3，4，5 决策变量为xk，第k周采购则xk＝l，若不采购则xk＝0 状态变量sk表示第k周原料实际价格
用Qk表示当第k周决定等待，而在以后采购时的采购价格期望值，即
Qk?0.1fk?1(550)?0.25fk?1(650)?0.3fk?1(800)?0.35fk?1(900)
最优指标函数fk(sk)表示第k周实际价格为sk时，从第k周到第5周采取最优决策所花费的最低期望价格，递推公式为
?fk(sk)?min?sk,Qk?,sk?Dk，k?4,3,2,1?f5(s5)?s5，s5?D5 ?Dk为状态集合?550,650,800,900?则k＝5时，因为若前四周尚未购买，则无论本周价格如何，该企业都必须购入原料 所以
*?550, 当s5?550，x5?1?*?650, 当s5?650，x5?1
f5(s5)??*?800, 当s5?800，x5?1?900,*当s5?800，x5?1?当k＝4时，
Q4?0.1f5(550)?0.25f5(650)?0.3f5(800)?0.35f5(900)?0.1?550?0.25?650?0.3?800?0.35?900?772.5
f4(s4)?min?s4,Q4??min?s4,772.5?s4?D4*?550, 当s4?550，x4?1 ?*??650， 当s4?650，x4?1?* s4?800或900，x4?0?772.5，当当k＝3时，
Q3?0.1f4(550)?0.25f4(650)?0.3f4(800)?0.35f4(900)?0.1?550?0.25?650?(0.3?0.35)?772.5?719.625f3(s3)?min?s3,Q3??min?s3,719.625?s3?D3*?550, 当s3?550，x3?1 ?*??650， 当s3?650，x3?1?*719.625， 当s?800或900，x?033?
当k＝2时，
Q2?0.1f3(550)?0.25f3(650)?0.3f3(800)?0.35f3(900)?0.1?550?0.25?650?0.3?（0.3?0.35）?719.625?685.256f2(s2)?min?s2,Q2??min?s2,685.256?s2?D2*?550, 当s2?550，x2?1 ?*??650， 当s2?650，x2?1?*685.256， 当s?800或900，x?022?
当k＝1时，
Q1?0.1f1(550)?0.25f2(650)?0.3f2(800)?0.35f2(900)?0.1?550?0.25?650?0.3?（0.3?0.35）?685.256?662.92f1(s1)?min?s1,Q1??min?s1,662.92?s1?D1*?550, 当s1?550，x1?1 ?*??650， 当s1?650，x1?1?*662.92， 当s?800或900，x?011?
最优采购策略：
若前面四周原料价格为550或650时，则立即采购，否则在以后的几周内再采购。第五周无论当时的价格为多少都必须采购。期望价格为 f1(s1)?0.1?550?0.25?650?(0.3?0.35)?662.92?648.4（元）
习题九
9.1某蛋糕店有一服务员，顾客到达服从?=30人/小时的Poisson分布，当店里只有一个顾客时，平均服务时间为1.5分钟，当店里有2个或2个以上顾客时，平均服务时间缩减至1分钟。两种服务时间均服从负指数分布。试求： （1）此排队系统的状态转移图； （2）稳态下的概率转移平衡方程组； （3）店内有2个顾客的概率； （4）该系统的其它数量指标。 【解】（1）此系统为[M/M/1]:[?/?/FCFS]排队模型，该系统的状态转移图如下：
（2）由转移图可得稳态下的差分方程组如下：
??P0??1P1??P??P?(???)P?02211 ???P1??2P3?(?2??)P2???Pn?1??2Pn?1?(?2??)Pn??2?3?n?P1?P0 P2?P0 P3?P0 Pn?P0 2n?1?1?1?2?1?2?1?211（3）已知??30 （人/小时）?1＝＝40（人/小时）?2＝＝60（人/小时）1.516060由
?P?1得
ii?0??nP0[1??]?1n?1??n?112?????1P0??1??1????2??303?301令 ?1＝＝＝,?2＝＝＝，有
?1404?2602???????1
3?P0?[1?1]?1?[1?4]?1?0.411??21?
2?nn?1pn?p???p0012n?1?1?2则 P2??1?2P0??31??0.4?0.15 42?（4）系统中的平均顾客数（队长期望值）
L??nPn??n?1?2n?1P0??1P0(1?2?2?3?3?...)
n?0n?031??1P0??0.4??1.2(人)22(1??2)4(1?0.5)Lq??(n?1)Pn??nPn??Pnn?1n?1n?12n?1?L??1P0(1??2??2?...??2?...)?L????1
在队列中等待的平均顾客数（队列长期望值）
?1p0
1??23?0.44?1.2??0.6(人)11?2系统中顾客逗留时间
W?系统中顾客等待时间
L?Lq?1.2?0.04(小时) 30Wq???0.6?0.02(小时) 30
9.2某商店每天开10个小时，一天平均有90个顾客到达商店，商店的服务平均速度是每小时服务10个，若假定顾客到达的规律是服从Poisson分布，商店服务时间服从负指数分布，试求：
（1）在商店前等待服务的顾客平均数。 （2）在队长中多于2个人的概率。 （3）在商店中平均有顾客的人数。
（4）若希望商店平均顾客只有2人，平均服务速度应提高到多少。 【解】此题是属于[M/M/1]:[?/?/FCFS]系统，其中：
?=9（个/小时） ?=10(个/小时) ???/?=9/10
(1) Lq??/(1??)?8.1（个）
2?3?0.729
(3) L??/(1??)?9（个） (4) L??/(???)?2
??2?9?18??13.5(个/小时) ??(2) P(N?2)?22
9.3为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均每3分钟1人。如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占要理发的人数比例为7％时，应该安放几个位子供顾客等待？ 【解】此题属于[M/M/1]:[N/?/FCFS]模型,依题意知：
?＝1/4，?=1/3，???/??3/4，由题意解方程
???e?0.07 ????e??1?e?1?1?PN?PN?0.07 ???N??N?1PN??0.07N?11???N??N?1?0.07?N?1??N(1?0.93?)?0.070.070.07????0.23141?0.93?1?0.93?0.75ln0.2314N??5.087ln0.75N
则应设立4个座位供顾客排队。
9.4某服务部平均每小时有4个人到达，平均服务时间为6分钟。到达服从Poisson流，服务时间为负指数分布。由于场地受限制，服务部最多不能超过3人，求：
（1）服务部没有人到达的概率； （2）服务部的平均人数； （3）等待服务的平均人数；
（4）顾客在服务部平均花费的时间； （5）顾客平均排队的时间。
【解】依题意，这是[M/M/1]:[N/?/FCFS]排队系统。其中：
N=3，?=4，?=10，???/?=0.4
1?ρ4
（1）P0?=（1-0.4）/[1-（0.4）]=0.6158 N?11-ρ（2）L?0.5616（人）
（3）Lq?0.1616（人） （4）W?0.1404（小时） （5）Wq?0.0404（小时）
9.5某车间有5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求该排队系统的数量指标，P0，Lq，L，Wq，W和P5。
【解】由题意知，每台机器每小时出故障的平均次数服从泊松分布，故该排队系统为[M/M/1]:[?/m/FCFS]系统，其中： ?=1/15，m=5，?=1/12，???/?=0.8
?5?5!P0????k??k?0(5?k)!??1?0.0073