架设学生数学学习的桥梁
现。让教育永远成为一种快乐！
（5）研究“建桥”时，四个注意的方面：
①重视知识获得过程，有指导地让学生自学，鼓励学生在主动获取知识的同时，掌握理科的学习方法。可谓“建桥”的准备； ．．
②引导学生全身心投入，通过观察→发现→猜想→论证→归纳→应用等途径，培养敏锐的观察能力和善于思考的学习习惯。 可谓“建桥”的步骤； ．．③在“练”中（包括在测验、考试中）层层递进，善于对问题的研究与讨论。并能够拓展一些问题的相关点和实际应用。可谓“过桥”的方式； ．．④研究的同时，反馈与矫正，即“行动研究”。通过不断地磨合，让学生知道要达成的效果和高度。可谓“过桥”的目的； ．．看来，在造桥的时候对“地质，水文，方向，位置，费用，施工方案”等可预见问题的勘测、分析、取样、验证，是造一座结实牢固的好桥首当其冲的任务。 3．作为参与者、合作者的作用
(1) 教师也是学生学习上的伙伴，教师开展的是合作学习。
① 合作交流意义的互动学习以学生的积极参与为基础； ② 以调整学生群体间的交往行为，开展合作学习为重点； ③ 教师必须不断地扮演各种不同类型的角色，以达到与学生的协作；
这种学习方式并不完全等于传统意义的小组学习。在“小舞台”中，教师是学生的同伴和朋友，问题的解决须是在个体能动学习的基础上通过群体协作配合才能完成，正是在这个小舞台中，师生互动共创与共生。在我的数学教学实践中，我往往将问题分解成几个小问题，让不同的小组完成各自的问题后，再通过全班小组交流，最后形成整体解决方案，即让学生在合作中体验“分——整——分”解决问题的方法，提出不同观点，使教师与学生之间的交流相互补充，相互完善，并归纳得到最终结论。
(2) 教师在合作教学的过程中，对学生积极性的调动起关键作用。
教师巧妙穿插、点拨或者对学生表现的认同、赞赏，都会激发学生探究知识的兴趣。在这里学生学习方式发生了很大的变革，不再是以前单纯的讲授，学生的听与记，这样就极大的调动了学生学习的积极性。整个课堂教师与学生处于平等的状态中，这种平等有助于创造力探索的发挥，能够发现结论。通过小组合作，这样不仅增长知识，而且通过自己告诉别人结论，也叫别的同学告诉自己的结论，培养学生团体合作，尊重他人的习惯。
正如克林伯格所说：“现代社会要求于人的交互主体性学习的能力以及其他一切素质，惟有在实践沟通与合作的关系，借助活动才能得以发展。”通过学生的对话、交流、倾听、讨论、体验、分享、评价、激励等合作互动过程，实现学习知识发展能力的目的。
(3)参与的两个方面:
①参与探索。 培养学生探索和创新精神、实践和应用能力，教师要充分发挥“导演”的作用，激发学生创造的“火花”。用自己的激情与精心创设情境为学生合作探究“蓄势”。在教学过程中，还要以清晰的头脑，理清讨论的主线，呵护学生富于个性的创见，使师生、生生双方理解与接纳，享受成功的快乐，体验学习的乐趣。
问题5.数字领域中的奥秘,深远而有趣。在初一数的认识这一章中，有一个让学生去探索的题：由数字2、-3、0、5、3构成你能构成的与众不同的值。教师放开手让学生讨论：
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2+（-3）+0+5+3；2×5-（-3）+0-5；0÷（2-3×5-3）??
2302?5?(?3)；5?(?3)?2；??这些都是常见的混合运算；还有的同学会想到：
(?3)2?0?5?3?24；??等算24点，21点的特殊值；
有的同学还会找到一些很大的数，教师提出：那么谁的最大呢？又激起学生的讨论，有的甚至拿出了计算器，对各种各样的数展开探讨??有一个学生很兴奋：老师我找到了一个计算器都表示不出来的数：(?3)5230！学生并没有学过乘方，开方，阶层等运算。教师给予充
分地表扬，再对知识进行整理、归纳，就能将数的概念及分类很好地通过学生的认识总结出来。这时教师对学生的肯定不仅仅是对学生的鼓励，其实也让学生感受了教师的豁达与知识的前瞻好处，最重要的是，教师已经引导学生进入到了知识学习的第一层桥面上。
又如问题6：比例与相似三角形的解法开放
背景：初三第一学期，§4.4、§4.5上完，复习课。 知识：利用相似与平行求比值 A
E 目的：复习巩固平行及相似的证明，介绍利用平行线转化比值的方法
F 问题：△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，
且AF:FD=1:5，连结CF并延长交AB于E．求AE:EB的值．
形式：教师提出问题，学生分组讨论，提出不同
观点，并阐明解法的优越性。讲的最好的
B C D
判为冠军。
A
解1．有学生提出要过点D作DM∥AB交EC于点M． E F 用平行将比例转化
M
AE1A 易证．此方法简洁明了，大多 ?E BE10F 数小组都采用了这一证法。 B C N D
解2．有学生说解1可以向右添辅助线，为
什么我们不能向左添辅助线．于是有：过点D作DN∥AC 交AB于点N．同理易证． B C D 解3．学生另解：左右可添，不妨上下添
A 注：这样的解法较为复杂，但可以较好地体现平行与相似的相合．在E G
与教师和其他同学的争论中有理可依，也是好证法。
F 教师在参与讨论与评判的过程中，必给提出解法的 小组以肯定，且是不分胜负。学生必哗然，教师则 可借此提出更高要求：“金球制胜”——还有新观
B C 点的获胜。 D
A 解4．左右可以，内外能行吗？过B作BG∥EC，
E 交AD于G． F 注：学生提出的方法到这里可充分体现平行与相似的结合，
7
B D
C
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且基本了解转化的方法，学以致用。在解法开放上的探 索，使学生看似东南西北，实质“内外结合，左右逢源”。
问题7： 与学生共同思考的一个实际问题：在一个地球仪 赤道的位置上用铁丝打一个铁箍，假设地球的赤道上也有
一个铁箍，同样把这两个铁箍的向外扩张１米（即直径增加２米）， 问哪个铁箍增加的铁丝长一点？ 解：简单一看容易回答成：“地球上的哪个铁箍增加的铁丝要长一些”。
但事实上这是错的，我们只要假设地球仪和地球的半径分别是r和R，则地球仪上的铁箍向外扩张１米，需增加铁丝2?(r?1)?2?r?2?米；
图1-1
地球上的铁丝向外扩张１米所需增加的铁丝的长度是2?(R?1)??2R??2，完全一样！教师在教学中应起的引导作用：真是计算使人惊奇！类似的
有这样一个问题：“某人用一个１米宽的拖把拖一个长40米，宽25米的球场，他打算按下图（1-1）虚线所示的路径拖地，请你帮他计算一下，当他拖完整个球场时，他走过的路程是多少？”
我们把球场想象成一个“蛋卷”，现在我们把它还原（即展开）成一个宽1米的带状长方形，这时候这个带状的长方形的长就是我们想要求的该人拖地时走过的路程，为：(40?25)?1?1000米。要想直接算，是有些困难的，但当我们发现拖把所捎过的面积就是原长方形球场的面积的时候，一切都尽在不言中。很自然，老师已经把解决数学问题中必不可少的“转化”的思想渗透到了学生脑海中。
问题8：将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ） A．60° B．75° Ｃ．90° Ｄ．95°
解题与分析：
F＇ D 由于折叠而产生的问题往往要抓住角相等和线段相等． F
A＇ 比如右图中：
∠A＇=∠A；∠DE＇B=∠E； 5 Ｅ＇ C 6 ∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；?? １ ４ ２ ３ AE A＇B=AB；F＇E＇=FE；CA=CA＇； B BE=BE＇；?? ∴∠1＋∠3=90°，选C． 那么类似的问题有吗？比如：
折叠的方式有很多种，折叠出来 的效果也不一样。
同学们是否记得，小学里老师教的手工折纸？飞机、乌蓬船、篮子、千纸鹤??你能不能用数学图形把他们分解出来？有一些题目甚至还出现了多次折叠，那就比这些一次折叠的问题复杂的多了。上了引桥与正桥，学生必会跨越艰难与险阻，最终到达胜利的彼岸。
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②参与发现。从学习的内容和结果来看，我们的现实生活中，确实存在着两种发现，
第一种是相对于人类已有认识而言的新认识----类发现，从“类发现”来看，只有相对于人类已有认识而言是新的认识，才能称之为发现；第二种是相对于个体已有认识而言是新的认识----个体发现，这种发现对个体来说是真实的发现。按“类发现”的概念，学生学习的过程缺少发现的过程，但是，从发现的过程上（尤其在心理过程上）来看，不论是科学家的发现还是学生的发现，都是个体已有知识经验的重新组合和超越，没有这种组合和超越，也就无所谓发现。另外，从个体发现和类发现的联系上来看，只有当个体不断丰富和发展自身的个体发现时，他才有可能形成类发现的能力；也就是说，个体的类发现能力是从个体发现中发展起来的，不重视个体发现，就是从根本上否定了类发现。因此，探索和发现是数学学习过程中所固有的性质。
问题9：在以下四幅已知图中，四边形ABCD为平行四边形，三个顶点在坐标轴上，A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，3），求AD＝4。求C、D两点的坐标。
发现一： 如图1，C、D的坐标分别为（－4，3）、（－6，0）
发现二： 如图2，C、D的坐标分别为（4，3）、（2，0） 发现三： 如图3，C、D的坐标分别为（0，－1）、（－2，－4） 发现四： 如图4，C、D的坐标分别为（0，7）、（－2，4） 发现规律：图形是通过左右或上下平移得到的。类似的有： 问题10：二次函数图像性质的提出也是通过平移得到的。
y y y
O O O x x x
问题11：在初学二次方程时已知方程(80-2x)(60-2x)=1500(*) 之后，教师问：你能将方程整理成等式的一边为零的方程吗？这一过程表面上是教师的“启发”，实际上是教师剥夺了学生能动的选择、加工和改造的自主权，请问：学生怎么会一下子想到这一点呢？实际上，当学生得出方程(*)之后，可提问学生：得到方程(*)之后，接下去你该做什么呢？学生受解一元一次方程方法的启发，会很快答出：化简！这时，教师追问：怎样化简呢？相信学生会借鉴化简一元一次方程的方法来化简方程(*)。这时，新的问题产生了，有的可能化成70x=825+x2，有化成x2-70x=-825，这时，教师可提问：方程(*)不能化成像最简的一元一次方程那样形式的原因是什么？学生会很快找出原因：出现了x2的项。教师再问，一元一次方程还有没有别的形式呢？这时，学生会能动地运用化一元一次方程成标准形式的方法来化简方程(*)，这时类
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比发现的意识起了引领的作用。一元一次标准式的右边为零，左边是按x的降幂排列而成，方程(*)化简后的标准形式右边也应为零，左边按x的降幂排列。
问题12：将长为29.7cm，宽为21cm的8张A4纸按如图所示的方法粘合拼接。若粘合部分的宽度为2cm，则如此拼接而成的长方形纸的长和宽分别为____cm和____cm 。
解题与分析：
← 21 → 这道题是省创新班招生的时候出的一道题目，有些? ? 同学拿到后心里窃喜，认为很简单。的确不难，但最↑ 容易弄错的就是纸与纸粘合部分的长度计算。实际上
解这道题只要先把宽粘合。接下来的事就好办了。 ↓ ↓ ↑ 宽＝29.7×2-2＝47.4cm； 长＝21×3+21-2＝82cm；（易错！）
有同学会问：“21、21-2”哪里来的？其解见右图。这样21 21-2 21 21 理解这道题就简单多了。
解后与学生的深入思考：
这类问题也会出现在试题里？看来我们失去了很多日常生活中的数学问题。特殊图形问题在我们的周围比比皆是。其实，上面的题目改成将一块花坛进行分割，不也一样吗！
问题13：正方形、矩形的对折、翻转、重合等 常常会涉及到几何知识。 又如：木匠师傅想要把两块不一样大小的正方形木块拼接成一大块正方形木块，而且木料一点都不多不少。你有没有什么办法？
这里要比较好地说明这个问题，还可以应用三角形的全等知识。
问题14：正方形ABCD
被两条与边平行的线段EF，GH分割成4个小矩形，P 是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小．观察一下，要添辅助线吗？
A E D 解： 设AG=a，BG=b, AE=x，ED=y，则
a+b=x+y， ① 2ax=by， ②
P 由①有a-x =y-b， G H
2222
两边平方得a-2ax+x=b-2by+y， 把②代入得a2-2ax+x2=y2-4ax+b2，
2 29.7 M 2 即（a+x）2=b2+y2，a+x=b2+y2.
B F C
又∵b2+y2=CH2+CF2=FH2，所以a+x=FH,即DH+BF=FH.
延长CB到M，使BM=DH，连结AM，因为Rt△ABM≌Rt△ADH， 所以AM=AH，∠MAB=∠HAD，
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则∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°． 可证△AMF≌△AHF，则∠MAF=∠HAF，即∠HAF=
1∠MAF=45°． 2因此由观察、演算再得到结论，同样离不开教师的设计和参与。无论哪一种参与，都必须真正体现学生的主体地位，让学生亲自参与探索研究、发现总结的全过程，给学生充分的活动空间和时间。
六、桥梁使用中的问题
1. 交通的拥挤疏导 (学会分析与解决问题的方法) ;
学生是学习的主人，教师要成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者，教师要充分发挥主导作用， 要注意学生生非智力因素的培养，鼓励学生自己完成探究过程，要及时肯定学生的积极表现，鼓励创新，哪怕只有微小的进步或幼稚的想法，也要给予热情的赞扬。
2. 提速的尺度控制 (欲留“超车道”，保证“行车道”，为拓宽“桥面”做铺垫) ;
教师要与学生平等地进行交流和讨论，创设民主、和谐的学习气氛。促进教学相长，建立新型的师生关系。只有这样，才能在教学中改革传统的教学思想和方法，着眼于学生创造能力的培养，使学生成为富有创造能力的创新型人才。
3. 从独木桥到立交桥 (双基落实与发展思维的关系, 相辅相成) ; 教师利用已有的知识，结合课堂教学，把“学生”与“知识”这两个主体，通过全新的学习方式，紧密地联系了起来。桥的主体可以是“立交”式的，“螺旋”式的，“斜拉”式的，也可以是“拱形”式的。教师现有的角色恰恰是各种各样的“桥”的角色，它们建于“丛山峻岭”之中、“江河湖海”之上、“城市乡村”之间??总之它所构建的就是知识与学生的统一。
参考文献：1. 《研究性学习实验与探索》 霍益萍 广西教育出版社 2001
2. 《平面几何的金钥匙》 王永明 杭州出版社 2002
3. 《多元智能》 霍华德·加德纳 新华出版社 2002 4. 《新课程中教师行为的变化》 傅道春 首都师大出版社 2002 5. 《基础教育课程改革纲要》 中国教育部 2002 6. 《我国基础教育课程改革研究》 李建平《教育发展研究》 2003 7. 《论课程新理念与教师角色转换》 潘涌《中国教育学刊》 2003 8. 《新课程目标下教师角色的反思》 林靖 《中国电子教育》 2004 9. 《HITS算法的开发》乔恩·克林勃格(Jon Kleinberg) 2004 10.《构建教育科学繁荣的新平台》 高宝立《中国教育报》 2004
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