南充高中2013届高三第十一次月考
数 学 试 卷（理科）
命、审题人：尹怀前 赵兴俊
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．a为正实数，为虚数单位， A．2
a?i?2，则a=（ ） i
C．2
D．1
B．3
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝（ ） A．－e
B．－1
C．1 B．?q是真命题 D．?p∧?q是真命题
B．若a⊥α，b∥a，b?β，则α⊥β D．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．e
3．已知命题p：?x∈R，9x2－6x＋1>0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝2，则（ ） A．?p是假命题 C．p∨q是真命题
4. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b 果是（ ） A．9
B．3
C．3
1 D． 9
5．如果执行右边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结
b≥a，??
6．设变量a，b满足约束条件：?a＋3b≤4，
??a≥－2.
1m
小值为m，则函数f(x)＝x3＋x2－2x＋2的极小值等于（ ）
3164
A．－
3
1
B．－ C．2
6
19 D．
6
若z＝a－3b的最
7. 将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ） A．15 B．18
C．30
D．36
8．半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△ABC，△ACD，△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 9．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩， 其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的
1 / 8
概率为（ ）
274A． B． C．
5105
9
D．
10
10．已知点F?0,1?，直线：y??1，P为平面上的动点，过点P作直线的垂线，垂足为Q，
????????????????且QP?QF?FP?FQ，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D?0,2?，圆心M在轨迹C上
运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?l1，DB?l2，则
l1l2
（ ） ?的最大值为
l2l1
一、2 B．3 C． 22 D．32 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷中的横线上.） 11．若(x?1n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的 x常数项为 ．
12．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
．
13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，
并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 种． 14．过抛物线y?4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，
设
2AF?m,BF?n,则的最小值为 ．
2m?n15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是
_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y?kx?b不经过任何整点； ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点；
④直线y?kx?b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知函数y?sin4x?23sinxcosx?cos4x， （1）求该函数的最小正周期和最小值； （2）若x??0,??
17．（本小题满分12分）
2012年我市举办科技创新大赛，共有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：
2 / 8
，
求该函数的单调递增区间.
y 作品数量 x 创 新 性 1分 2分 3分 4分 5分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1 实 用 性 3分 1 7 0 6 1
4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 b 0 a 3
现从这50件科技作品中任选一件，
（1）求取得的作品其“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （2）若取得的作品其“实用性”得分的数学期望为 18．（本小题满分12分）
如下图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1. （1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
19．（本题满分12分）
设数列?an?的前n项和为Sn?3an?3n?1. （1）证明：?an?1?167，求表中a、b的值． 50??3?an?为等比数列； 2? （2）证明：求数列?an?的通项公式； （3）确定
20.（本小题满分13分）
3 / 8
Sn6n与的大小关系，并加以证明. n2n?13
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中： x y 3 ?2 0 4 2 2 2?23 ?4 （1）求C1、C2的标准方程；
（2）若过曲线C1的右焦点F2的任意一条直线与曲线C1相交于A、B两点，试证明在x轴上
????????存在一定点P，使得PA?PB的值是常数，并求出点P的坐标和该常数值.
21.（本题满分14分）
已知函数f(x)?12x?alnx,g(x)?(a?1)x(a??1),H(x)?f(x)?g(x). 2 （1）若函数f(x)、g(x)在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
（2）?、?是函数H（x）的两个极值点，?
南充高中高2010级高三第十一次月考（理科数学）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D C A C C 9 C 10 C
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 20 ; 12. 8＋3＋7; 13. 192; 14.
; 15. ①③⑤
3?22三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16.（本小题满分12分
???44y=3sin2x?sinx?cosx=3sin2x?cos2x=2sin2x????? 解：（1）6?? 所以 T??,ymin （2）令2k?- ???? 4分
??2 ???? 6分
?2k??,k?Z，则k?-?x?k??,k?Z ??? 8分26263??5?4?令k?0,1，得到x?[-,]或x?[,]，
???? 10分6363?5?与x?[0,?]取交集, 得到x?[0,]或x?[,?],
36?2x? 4 / 8
?????
????5??所以，当x?[0,?]时，函数的递增区间是?0，?和?，??
???? 12分?3??6?.
17.（本小题满分12分）
解：（1）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件， ∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为
6?0.12．4分
????50（2）由表可知“实用性”得分y有分、2分、3分、4分、5分五个等级，
且每个等级分别有5件，b?4件，15件，15件，a?8件．5分
????
∴“实用性”得分y的分布列为：
y 5 502 b?4 503 15 504 15 505 a?8 50p
又∵“实用性”得分的数学期望为167，
505b?41515a?8167． 10分 ?2??3??4??5??????505050505050∵作品数量共有50件，∴a?b?3
解得a?1，b?2． 12分
????
18.（本小题满分12分）
解：方法一 (1)证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A， ∴BM⊥平面ACFE. 而EM?平面ACFE. ∴BM⊥EM.
∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°. 又∵∠BAC＝30°，AC＝4，
∴AB＝23，BC＝2，AM＝3，CM＝1.
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC. 又FC＝CM＝1，AM＝EA＝3，
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形． ∴∠EMA＝∠FMC＝45°. ∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF.
∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF.
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF.
???? 5分
(2)解：延长EF交AC的延长线于G，连接BG，过点C作CH⊥BG，连接FH. 由(1)知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC， ∴FC⊥BG.
而FC∩CH＝C，∴BG⊥平面FCH. ∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG.
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角． 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AC＝4， ∴BM＝AB·sin30°＝3. FCGC1
由＝＝，得GC＝2. EAGA3
∴1?∵BG＝BM2＋MG2＝?3?2＋32＝23， 又∵△GCH∽△GBM，
5 / 8