GCCHGC·BM2×3＝，则CM＝＝＝1. BGBMBG23
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC＝45°. ∴
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
2
. 2???? 12分
方法二 (1)证明：因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，又∠BAC＝30°，AC＝
4，所以AB＝23，而BM⊥AC，易得AM＝3，BM＝3.如图，以A为坐标原点，垂 直于AC的直线，AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由已知条件 得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(3，3,0)，F(0,4,1)， ∴＝(0，－3,3)，＝(－3，1,1)． 由·＝(0，－3,3)·(－3，1,1)＝0， 得⊥，∴EM⊥BF.
???? 5分
(2)解：由(1)知＝(－3，－3,3)，＝(－3，1,1)． 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0，
?－3x－3y＋3z＝0，得? ?－3x＋y＋z＝0.
令x＝3得y＝1，z＝2，∴n＝(3，1,2)．
由已知EA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为＝(0,0,3)． 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
|3×0＋1×0＋2×3|2
则cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝.
23×22???? 12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）Sn?3an?3n?1得Sn?1?3an?3n?1，
相减得Sn?1?Sn?3an?1?3an?3n?2?3n?1，
???? 2分即an?1?
33an?3n?1，故an?1?an?3n?1。
223?故数列??an?1?an?为首项是9、公比为3的等比数列。 ???? 4分
2?? （2）an?1?an?11an3an?11?an?，???1?2???2an?3n?1得n??， ?1nn?1n32?33232?n?1na131an111?????2??2??，故n?2?????????， 32232?2??2?n??1?n?n3??n所以an??2?????3?2?3???。 8分
??2?????? ?2???n?n?3?n?n?1??1?n?3??n?1n?1 （3）Sn?3?2?3?????3?3?3????3?1????，
?2???2?????2???????1??6n??1?n?Sn，即比较与的大小关系， 3?1?????3?1????n3????2???2n?1??2?????1?n??2n?16n2n?2n?(2n?1)， 3?1??????3?n??3??n2n?1?(2n?1)2??2??2???2n?1即比较2n与2n?1的大小。 10分
????
nn当n?1,2时，2?2n?1，当n?3时，2?2n?1。
6 / 8
n
n01n?1n01n?1因为当n?3时，2n?（1+1）?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?1。
SnSn6n6n，当时，。 12分 ??n?3nn???? 332n?12n?13（也可用数学归纳法：当n?3时，2?8,2?3?1?7，8?7结论成立；
k设n?k(k?3)时结论成立，即2?2k?1，则当n?k?1时，
故当n?1,2时，
2k?1?2?2k?2(2k?1)?2(k?1)?2k?2(k?1)?1，即n?k?1时结论也成立。
n根据数学归纳法，对n?3，不等式2?2n?1成立。） 12分
????
20.（本小题满分13分）
2y 解：（1）设抛物线C，则有:y?2p(px?0)?2p(x?0)， 2x22据此验证4个点知（3，?23），（4，?4）在抛物线上，易求C.……2分 4x2:y?
222xy2设CC：，把点（2，0）,（，）代入得： ?12:2?2?(a?b?0)2ab22?4x?a?42?1?，解得?.∴方程为C?y?1. ……………………… 6分 ?a21?2?4??b?11?2??a2?2b2?1?x22（2）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y?k(x?3).联立?4?y?1，
??y?k(x?3)?2消元得 (1?4k2x)2?8k3x?21k2??4则 0,83k212k2?4 .……………………………………………… 8分 xA?xB?,xAxB?1?4k21?4k2????????设点P(t,0)，则PA?PB?(xA?t)(xB?t)?yAyB
?(k2?1)xAxB?(t?3k2)(xA?xB)?(3k2?t2)
212k2?4283k22?(k?1)?(t?3k)?(3k?t)
1?4k21?4k2t2?4?(11?83t?4t2)k2 .…………………………………10分 ?21?4k????????13t2?411?83t?4t22793k?RPA?PB?? 当即时，对任意， .…12分 ?,t??64148831②当AB?x轴时，直线AB的方程为x?3,xA?xB?3,yAyB??.
4????????9313若t?，则PA?PB?(xA?t)(xB?t)?yAyB??.
864????????9313,0)，使得PA?PB的值是常数?. .……………………13分 故存在x轴上的点P(8642
21.（本小题满分14分）
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