?Kv?m∴ ?Kdvdt?,mvdv dttvKdv??dt??
mv0v0∴ v?v0e?Kt/m (2) 求最大深度 解法一：
dx dt dx?v0e?Kt/mdt
v?xt
?0dx?v0e?Kt/mdt
0?∴ x?(m/K)v0(1?e?Kt/m)
xmax?mv0/K
dvdvdxdv?Kv?m?m()()?mv解法二：
dtdxdtdxm∴ dx??dv
Kxmax0m ?dx???dv
K0v0
∴ xmax?mv0/K
3. 如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5 mh 处，煤粉自料斗口自由落在A上．设料斗口连续卸煤的流量为qm＝40 kg/s，A以v＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）
解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度
y v?2gh
0?vA 设煤粉与A相互作用的?t时间内，落于传送带上的煤粉质量为 ?m?qm?t
fy?t ? 设A对煤粉的平均作用力为f，由动量定理写分量式： fx?t??mv?0 fy?t?0?(??mv0)
将 ?m?qm?t代入得 fx?qmv， fy?qmv0∴ f?
?f?t ??fx?t x
? f与x轴正向夹角为? = arctg (fx / fy ) = 57.4°
? 由牛顿第三定律煤粉对A的作用力f′= f = 149 N，方向与图中f相反．
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fx2?fy2?149 N
4. 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：
(1) 若每秒有质量为qm=dM/dt的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v运动，需要多大的功率？
(2) 若qm=20 kg/s，v＝1.5 m/s，水平牵引力多大？所需功率多大？
解：(1) 设t时刻落到皮带上的砂子质量为M，速率为v，t+dt时刻，皮带上的砂子质量为M+dM，速率也是v，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F的冲量为：
Fdt?(M?dM)v?(Mv?dM?0)?dM?v ∴ F?vdM/dt?v?qm 由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F?，即F?=F．由于皮带匀速 运动，动力源对皮带的牵引力F″=F， 因而， F? =F，F?与v同向，动力源所供给的功率为：
P?F?v?v?vdM/dt?v2qm (2) 当qm＝dM/dt=20 kg/s，v＝1.5 m/s 时，水平牵引力
F?＝vqm=30 N 所需功率 P=v 2qm=45 W
5.一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂 一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?．令链条由静止开始运动，则
(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为 l?a y y f??mg
????l?a a l摩擦力的功 Wf? =
?0l?afdy???l?a0mgydy l(l?a)2
112mv2?mv022
a ?mg2ly20l?a =??mg2lx
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝
其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0
mgmg(l2?a2)xdx? WP =?Pdx=? ala2l?mg(l?a)2由上问知 Wf??
2lmg(l2?a2)?mg1?(l?a)2?mv2 所以
2l2l21g2222(l?a)??(l?a)得 v? lll??
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6.小球A，自地球的北极点以速度v0在质量为M、半径为R的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系
?中轴OO＇与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO＇相交于距O为3R的C点．不考虑空气阻力，求小球A在C点
??的速度v与v0之间的夹角?．
?AmMOR v0CO＇?? v?
解：由机械能守恒：
2 1mv0?GMm/R?1mv2?GMm/(3R) ①
22根据小球绕O角动量守恒： Rmv0?3Rmvsin? ② ①、②式联立可解出． sin??v09v?12GM/R20
7.质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持
?在原点不动．起初，当A离B很远( r = ∞)时，A具有速度v0，
方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D．粒子A由
D于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已
知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB．
解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v． DmAv0?mAvd， v?Dv0/d A、B系统机械能守恒(A在很远处时， 引力势能为零)
2 1mAv0?1mAv2?GmAmB/d
A v0dB?a?v
22解得 v2?v0?2GmB/d
22∴ mB?(D2?d2)v0/(2Gd)
???8. 一个具有单位质量的质点在随时间 t变化的力F?(3t2?4t)i?(12t?6)j (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．
??F?ma， 解： 以下各式均为SI式 m = 1
??????22 F?(3t?4t)i?(12t?6)j， a?(3t?4t)i?(12t?6)j
???∵ a?dv/dt，t = 0时，v0?0
tt????2∴ ?dv??adt??[(3t?4t)i?(12t?6)j]dt
?v???322 v?(t?2t)i?(6t?6t)j
???∵ v?dr/dt， t = 0时， r0?0
t??1423??32∴ r??vdt?(t?t)i?(2t?3t)j
430????????当t = 2 s时 r??4i/3?4j，v?12j, F?4i?18j
000 8
?????4???力矩 M0?r?F?(?i?4j)?(4i?18j)??40k
3????4???角动量 L0?r?mv?(?i?4j)?12j??16k
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四 研讨题
1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？
参考解答：
汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。
2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？
参考解答：
?t2????冲量是力对时间的积累，由动量定理：I??Fdt?P2?P ??P1t1??所以，冲量的方向和动量增量?P的方向相同，不一定与冲力F的方向相同。
3. 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。
参考解答：
机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为m 的物体（例如一气球）静止在相对于地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。
在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为v，动能为mv 2/2，动量的大小为 mv，系统的机械能为 E =mv2/2 ? mgh = E0=0.
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4. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．
参考解答：
不一定满足守恒条件．
?例如在水平面上以速度v0匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球．以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球＋地系统机械能守
?恒．若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为v，则小球
?????对地速度v??v0?v，v?与绳张力T不垂直，故小球摆动过程中绳
张力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件．但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的．
5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？ 参考解答：
在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。
在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据Fi=m?2r，这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。
（忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）
第2章 刚体定轴转动
一、选择题
1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). v ≈15.2 m /s，n2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg2m2 (7). (8).
1Ma 2l11?mgl参考解：M＝?dM＝???gm/l?rdr??mgl
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