通性通法
第一章 函数与导数
一、知识结构：
??解析式??函数的三要素?定义域??值域?????单调性???函数的性质?奇偶性?周期性???? 函数??列表、描点、连线??函数图象的画法?基本初等函数的图象背诵??图象变换?????二次函数???四种重要的函数?三次函数???指数函数??对数函数???
二：知识梳理：
一般说来，研究函数问题首先要研究函数的三要素，首先看有没有解析式，
没有解析式（自己要求，常见方法为待定系数法），题目直接给解析式，自己要识别名称（基本初等函数、复合函数、分段函数、抽象函数）或恒等变形，然后
自觉研究函数的性质，最后思考所要研究的问题与前面所研究内容之间的联系。
1．1、定义域
（！）概念；使解析式有意义的自变量的取值的集合； （2）确定函数的定义域需要注意的几种限制条件；
① 分母中的数不能为零； ② 在偶次根号下的数非负； ③ 对数的真数为正；
④ 实际问题中的量要有意义；
⑤ 同时有几个限制条件，求它们的交集；
（3）做函数题目一定要有定义域意识, 定义域意识应该贯穿于解函数题目的始终。
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1．2、求函数值域的方法(含最值问题的求法)
三个步骤：解此类问题先要求解析式，再求定义域， 在此基础上选择方法。 （！）画函数图像（如：基本初等函教①一元一次函数；②一元二次函数；③指数函数；
④对数函数；⑤三角函数的值域或是一切能够画出图象的函数值域的求法）。 （2）换元法（复合函数的值域或是能够换元解决的函数值域的求法）。 （3）平均值不等式。
（4）利用函数的单调性(思维的转向：需要转而判断函数的单调性)。 （5）利用式子的结构特点。 （6）求导。
1．3、函数的奇偶性
（1）概念；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)那么函数
f(x)是奇函数，以此迁移偶函数。
（2）判断方法；
① 用图像来判断； ② 用解析式判断：
在定义域关于原点对称的前提下，用f(?x)??f(x) 判断； 看见函数中含有指数式或对数式,转化为判断f(?x)?f(x)?0； 用几个函数的奇偶性来判断,如f(x)?g(x),f(x)g(x)等形式。 （3）性质应用。
① 关于图像(含定义域对称问题)； ② 关于解析式
对于定义域内的任意x，均有f(?x)??f(x)恒成立 (赋值型恒成立)； 奇函数在零点有定义时,f(0)?0；偶函数f(x)?f(x)。
1．4、函数的单调性
（1）概念；一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内的某个区间
D上的任意两个自变量的值x1.x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间D上是增函数，以此类推。 （2）判断方法；
① 用函数图像判断； ② 用解析式判断：
定义法(用于解答题,实质上是比较大小)；
依据函数的单调性的定义证明函数单调性的步骤有：取值、作差变形（一般都要分解到出
x2?x1为止）、定号（我们这一阶段主要出现过4种定号的方式：因式分解、配方、分子有
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理化、logab等）、判断。 复合函数的单调性。
分拆。 求导。
（3）性质应用。
① 用于画图像； ② 用于解析式：
比较大小(y?f(x)在D上是增函数，x1,x2?D，x1?x2?f(x1)?f(x2)； 解不等式(y?f(x)在D上是增函数，x1,x2?D，f(x1)?f(x2)?x1?x2)； 求函教的值城(或最值)。 求值域或最值。
等价转化为导函数恒大于（或小于）0。
1．5、函数的周期性
（1）判断方法；
① 用函数图像判断； ②用解析式判断：
对于定义域内的任意x，f(x?t)?f(x) (定义法)；
带有三角符号的函数,在求周期时一定要化成标准形式,即y?Af(?x??)?k。 （2）性质应用。
① 用于画图像；
②用于解析式：f(x?t)?f(x)恒成立(赋值型的恒成立问题)。
1．6、函数图象自身的对称性
对于函数f(x)，如果满足条件f(a?x)?f(b?x)，则函数y?f(x)的图像关于直线x?a?b对称；特殊地，如果满足条件f(a?x)?f(a?x)，则函数y?f(x)的2图像关于直线x?a对称，反之也成立。
1．7、图象
画函数图象常有三种方法。 （1）列表、描点、连线；
（2）基本初等函数的图像直接记忆：
① 一元一次函数； ② 反比例函数；
③ 一元二次函数(画一元二次函数的图像有三个要点：图像的开口方向；函数的对称
轴以及在对称轴时所取得的函数值；图像与x轴的交点坐标)；
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④ 指数函数(特征点：(0,1))； ⑤ 对数函数(特征点：(1,0))；
⑥ 三角函数（五点法）
（3）图像变换(两个函数解析式之间的联系导致函数图像间的关联)：
① 平移变换：（上下平移与左右平移） ② 对称变换： ③ 伸缩变换
④ 翻折（绝对值）变换：
1．8、重要函数
（1）一元二次函数；
求二次函数解析式的方法，待定系数法。根据所给条件的特点，可以选择一般式、顶点式、双根式中的一种来求：①已知三个点的坐标时，宜用一般式：y?ax?bx?c (a?0）；②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（最小）值有关，常用顶点式：
2y?a(x?m)2?n (a?0）；
③已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式：y?a(x?x1)(x?x2)
(a?0）更方便。
（2）三次函数；一般都借助函数的图象进行研究，图象分a?0及a?0两种情况讨论 （3）指数函数；
做指数函数题目大多涉及变形，要变形就需要熟练掌握指数的运算性质：
分数指数幂概念：a?mnna,am?mn?1amn?1nam
有理指数幂运算性质：①ar?as?ar?s (a?0,r,s?Q)
②(a)?a (a?0,r,s?Q) ③(ab)?a?b (a,b?0,r?Q)
（4）对数函数。
做指、对数函数题目大多涉及变形，要变形就需要熟练掌握对数运算性质：
指数与对数的几个处理原则：①化为同底，②会指数式与对数式的互化，③关于对数式还要多思考一条：真数值为正。
N ① a?b?logab?N
rsrsrrr ② loganbm?logcbmloga，a?bb logab，logab?logcan第 4 页 共 30 页
③ logaM?logaN?logaMN，logaM?logaN?loga④ logab分四种情况考虑与0的大小。
M N若a?1,b?1,则logab?0, 若a?1,1?b?0,则logab?0
若0
1.9、函数的零点
（1） 从图象角度而言，是函数图象与x轴交点的横坐标； （2） 从解析式出发，是方程的根。
1.10、反函数
（1）原函数与反函数的图像关于直线y?x对称，反过来，如果两个函数图象关于直线
y?x对称，则这两个函数互为反函数； （2）(a,b)在f(x)的图象上，则(b,a)在f?1(x)的图象上。
1．11、恒成立问题的三种常见题型
（1）一元二次不等式的恒成立问题（与二次项系数及判别式有关）； （2）最值型恒成立问题
a?f(x)恒成立?a?f(x)max,a?f(x)恒成立?a?f(x)min a?f(x)不成立?a?f(x)min,a?f(x)不成立?a?f(x)max
存在x使不等式a?f(x)有解?a?f(x)min。
（3）赋值型的恒成立问题。
1．12、.导数的几何意义与切线方程
（1）由导数的定义求函数y?f(x)的导数的步骤；
①求函数的增量?y?f(x??x)?f(x)；②求函数的增量?y与自变量的增量?x的比值
?yf(x??x)?f(x)?y'；③求极限得导数y?lim。 ??x?0?x?x?x（2）曲线的切线。
①已知点是切点的处理：先求出导函数在切点处的函数值即该点处切线的斜率；利用点斜式可写出切线方程。
②已知点不是切点的处理：设切点为(x0,y0)，有k?f(x0)?'y1?y0。
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