3、【解析】
（2）(解法一)由题意，直线m与曲线C1相切，设切点为M(t,1)， 1t2?t?2. 则直线m的方程为y?1?(1tx)?x?t?(x?t)??1t2(x?t)，即y??1t2x?2t. 来源学科网
将y??12t2x?t代入椭圆C2 的方程b2x2?a2y2?a2b2，并整理得： (b2t4?a2)x2?4a2tx?a2(4?b2t2)t2?0.
6
（2）(解法二)设直线m与曲线C11x2y21:y?x(2?x?2)、椭圆C2:a2?b2?1(a?b?0) 均相切于同一点
M(t,1t),则t21a2?b2t2?1.
由y?
1
x
知y???1x2;
2xx2y2x2?由ba2bxb2xa2?b2?1(y?0)知y?b1?a2,y??21?x2??2??a2y. aa21?x2a2故?1b2tta22??,?b2t4. a21
t?t2联解?1?a2?22?1,得b2?222,a?2t2. ?bt?a2?b2t4t 由
12?t?2,及a2?b2得1?t?2. 2故e2?a?b21a2?1?t4，
7
得0?e2?1516,又0?e?1,故0?e?154. 所以椭圆C152离心率e的取值范围是(0,4). 4、【分析】第2问，在设直线l方程时要考虑斜率存在与不存在两种情况。 【解析】
当且仅当9k2＝1k2，即k＝±3
3时等号成立.当k＝0时，|AB|＝3.综上所述：|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值S＝133
2×|AB|max×2＝2
5、【答案】（Ⅰ）y2?x24?1；（Ⅱ）k??2；（Ⅲ）三角形的面积为定值1． 【解析】
?（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y?kx?3，所以?y?kx?3???k2?4?x2?23kx?1?0，?y2?4?x2?1
8
所以x1?x2??23k1,xx??， 1222k?4k?4????k2?x1x2y1y213k3由已知m?n?0得：2?2?x1x2?kx1?3kx2?3??1?xx?x?x??12? ?12ba44?44?????k2?4?1?3k?23k3????2??0，解得k??2． ?2?4?k?4?4k?44（Ⅲ）
x26、【答案】（1）（2）存在且定点为T(0,1)． ?y2?1；
2【解析】
9
（2）假设存在点T(u,v)，若直线l的斜率存在，设其方程为y?kx?1，将它代入椭圆方程，并整理得3(18k2?9)x2?12k?16?0．
12k?x?x???1218k2?9设点A、B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则?，
?xx??16?1218k2?9?因为TA?(x1?u1y1?v),TB?(x2?u2y2?v)及y1?kx1?,y2?kx2?????????????12v1所以TA?TB?(x1?u)(x2?u)?(y1?v)(y2?v)?(k2?1)x1x2?(u?k?kv)(x1?x2)?u2?v2??
339131， 3(6u2?6v2?6)k2?4ku?(3u2?3v2?2v?5)＝． 26k?2??????当且仅当TA?TB?0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ?6u2?6v2?6?0?所以?，解得u?0,v?1， 4u?0?3u2?3v2?2v?5?0?此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1)．
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x2?y2?1也过点T(0,1)． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0,1)，满足条件．
7、解：
(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在． 设l的方程为y＝kx＋2，
y＝kx＋2，??2由?x消去y，化简整理得 2
＋y＝1，??4(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
3Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2＞. 4
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x16k12
1＋x2＝－1＋4k2，x1x2＝1＋4k2， 又∠AOB为锐角，所以OA→·OB→＞0， 即x1x2＋y1y2＞0，
即x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)[来源学#科#网Z#X#X#K]
＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，
所以(1＋k2)·12－16k1＋4k2＋2k·1＋4k2＋4＞0，解得k2
＜4， 所以34＜k2＜4，即k∈(－2，－332)∪(2
，2)．
【点评】本题第2问，如忽视条件Δ＞0，会得到k∈(－2，2)的错误结论。来源学科
8、【解析】
（II）设存在直线符合题意，直线方程为y?kx?2，代入椭圆方程得：
(3k2?1)x2?12kx?9?0，
设M(x1,y1),N(x2,y2)，P(x0,y0)为弦MN的中点，则
???144k2?36(3k2?1)?0由韦达定理得：????x12k，?k2?1 1?x2??3k2?1?x0??6k3k2?1,y20?kx0?2?3k2?1， 因为AM?AN,?AP?MN?y0?1
x?k??1?k??1 0
不符合??0，所以不存在直线符合题意．
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