23．解：（1）∵点A是直线y=x（a≠0）上一点，AB⊥x轴于点B（2，0），若=∴tan∠AOB=即∠AOB=60°，
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，CF⊥AB于F．则四边形ECFB是矩形． ∵∠ACO=∠FCE， ∴∠ACF=∠OCE，
∵AC=CO，∠AFC=∠CEO， ∴△ACF≌△OCE， ∴AF=OE=4﹣a，CF=CE=b， ∴四边形ECFB是正方形， ∴CF=CE=BE=2﹣a， ∴b=2﹣a，
∴AB=4﹣a+2﹣a=6﹣2a， 令x=2代入y=∴y=
，
）
， ，
，
∴A（2，∴AB=
，
24．解：（1）方法一：连接OD，OE，CD，
∵∠ADC=90°， ∴∠CDB=90°， ∵E是BC的中点， ∴DE=CE， ∴∠EDC=∠ECD， ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°， 即OD⊥ED， ∴ED与⊙O相切． 方法二：连接OE，OD， ∵E是BC的中点，∠BDC=90°， ∴DE=CE，
又∵OD=OC，OE=OE， ∴△ODE≌△OCE， ∴∠ODE=∠OCE=90°， 即OD⊥ED， ∵D在⊙O上， ∴ED与⊙O相切．
（2）∵⊙O半径为3，即OC=3，ED=4， ∴CE=ED=4， ∴OE=
=5，
∵E为BC中点，OC=OA， ∴OE为△ACB的中位线，
∴OE=AB， ∴AB=10． 答：AB长为10．
25．解：（1）在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3， ∴点A（4，0）、B（0，3），
把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，
则△PEQ∽△OBQ， ∴∵
=
，
=y、OB=3，
∴y=PE，
∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），
则PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m， ∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+， ∵0＜m＜3，
∴当m=2时，y最大值=，
∴PQ与OQ的比值的最大值为；
（3）由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1， ∵△ODC的外心为点M， ∴点M在CO的垂直平分线上，
设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，
则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD， ∴sin∠ODC=sin∠OMN=又MO=MD，
∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大， 此时⊙M与直线x=1相切，MD=2， MN=
=
， ），
）也符合题意；
）或（﹣1，﹣
）．
=
，
∴点M（﹣1，﹣
根据对称性，另一点（﹣1，
综上所述，点M的坐标为（﹣1，