若
p?q，?p?q,?p??q,??1，此时左边极限为r，右边极限不存在，矛盾；
npq?p?a1???b1qbp若p?q，不妨设?lim1?q ?1,则r?lim??nn??qa1?p?b1n??b1??qqp?q??n?1n?1此时an?cn?bn?c1rn?1?bq?c1qn?1?bq??c1?b1?qn?1 11表明数列?an? 的公比p?q，这与题设矛盾。故假设不成立，即数列?cn? 不是等比数列。
注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列?an?是公比为q的无穷等比数列, 将
an?1aa?q两边取极限, 得limn?1?limq?q，说明等比数列中的n?1的
n??an??anann极限存在, 且就是公比q。
2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案
例2：已知数列?an?中，a1?1，且对于任意自然数N，总有an?1?nan, 是否存在实an?2?2?数a、b, 使得an?a?b??? 对于任意自然数N恒成立? 若存在，给出证明；若不
?3?存在，说明理由。
分析：解此题的一般思路是，按照“从一般到特殊, 再从特殊到一般”的思维原则。 先从具体、特定的实例入手, 从中探测出问题的结论, 再经过严格的论证, 但这样解题过程比较复杂，不如用极限思想优越，因为本题有它的特殊性，可利用极限考虑。
?2?解：如果这样的a，b存在的话, 则由an?a?b??? 可得liman?a，
n???3?对an?1?naan两边取极限, 得a?，解得a?0或a?3
a?2an?223若a?0, 则数列?an?应该是以1为首项, 以?为公比的等比数列。显然不可能对任意的正整数N都满足an?1?an an?2 5
?2??2?若a?3，将a1?1代入 an?a?b????,可求得b??3, 此时, an?3?3????验证a2?3??3?即得出矛盾。所以, 这样的实数a和b 不存在。
注2:灵活地运用极限思想解题, 常可避开抽象、复杂的运算, 优化解题过程, 降低解题难度，这是减少运算量的一条重要途径。
nn2.2 数学极限思想在函数中的应用
2.2.1利用极限思想确定函数图像
例3：函数y?1?1的图像是（ ） x?1
(A) (B)
(C) (D)
分析 当x?1,且x?1时，y???，故选（B）
2.2.2利用极限思想确定函数定义域
例4：从盛满aL纯酒精的容器中倒出1L，然后用纯水填满，再倒出1L混合液后又用水填满，这样继续下去。设倒完第n?n?1?次时前后一共倒出纯酒精xL，倒完第?n?1?次时前后一共倒出纯酒精f?x?L，求函数f?x?的表达式。
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分析：混合溶液问题是我们经常遇到的应用题，根据混合前后浓度的变化即可写出其函
a?xa?1?1?x?1.由操作的重复性知，操作的次数越多，溶液的浓aa度越小，但是不可能是浓度为零，故x?a。
a?x解：根据题意，第?n?1?次倒出的混合液中纯酒精的体积分数为,
a数表达式f?x??x??f(x)?x?a?xa-1*1=x?1aa
下面确定定义域,由于第一次就倒出1L纯酒精，故x?1；又经过有限次(无论n有多大)操作，总不可能将全部的aL纯酒精倒出，只能无限趋近于a，即x?a，故定义域为? ?1,a?。
2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围
例5： 已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是P?1,1?和Q2,2?,若直线
??L:x?my?m?0与线段PQ的延长线相交,求m的取值范围。
图一
解：若m?0,则直线L:x?0与线段PQ相交,不合题意，故m?0,此时L的方程为
y??1x?1 m如图 易知直线L恒过定点M0,?1?,不妨先考虑直线L的极限情形:
由于直线L必须与有向线段PQ的延长线相交,L的斜率必须小于M，Q两点所在直线L1的斜率k1??3；当L离开L1的位置绕点M顺时针旋转时, L与PQ的延长线的交211，故L应夹在L1与L2之间,则k2???k1，即 2m点N逐渐远离Q点,当交点N与Q的距离趋向无穷大时, L逐渐趋向L2 ?L2平行于PQ?,这时L的斜率趋向PQ的斜率k2? 7
1132???，故?2?m??为所求。 2m23
2.3数学极限思想在三角函数中的应用
2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围
例6：已知长方形的四个顶点A0,0?,B2,0?,C2,1?和D0,1?，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为?的方向射到BC上的点P依次反射到CD,DA和AB上的点P1后，2 ，P3和，设PP4（入射角等于反射角）4坐标为?x4,0),若1?x4?2,则tan?的取值范围是
????
图二
?21??1??12??22?A?,1? B?,? C?,? D?,?
?52??3??33??53?分析：本题可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出tan?的取值范围，根据极限的观点，令x4?1，不妨 令P4与P0重合，依据入射角等于反射角，即知P1，P2，P3均为各边中点，此时tan??1，而四个选项中仅有选项?C?与此数据有关，故选?C? 2注3：将精算与估算相结合， 是一种重要的数学能力。运用极限的思想，化繁为简，为解题提供思路。此类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维质量。
2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围
例7：若sin??cos??tan??0???????，则???? ?2? 8
???????????????A.?0,? B.?,? C.?,? D.?,? ?6??64??43??32?分析：本题中角?显然不是熟知的特珠角，如果我们将方程的两边看作是两个连续的函数的话，利用极限思想，借助函数的大小关系即可得出答案。
解 当??0时，sin??cos??1，tan??0，此时有sin??cos??tan? 当?? 当?? 当???6时，sin??cos??1?33，tan??，此时有sin??cos??tan?
32?4时，sin??cos??2，tan??1，此时有sin??cos??tan? 时，sin??cos???33?1，tan??3，此时有sin??cos??tan? 2 因此，由???4和???两式值的特点和；两式在区间?,?上连续可得3?43???????? ，故答案为C ???,??43??注4：由本例可见，在解决有关三角函数中的范围问题时，因为答案都是不等关系，
所以可应用极限思想来确定正确选项。
2.4数学极限思想在不等式中的应用
2.4.1通过假设变量的极限求得答案
例8：已知0?x?y?a?1，则有（ ）
(A) loga?xy??0 (B) 0?loga?xy??1 (C) 1?loga?xy??2 (D) loga?xy??2
分析：当x?a时，由题意y?a，此时xy?a2，loga?xy??2，故可排除?A?和?B?,当y?0时，由题意x?0，此时xy?0，又0?a?1，则log从而选?D?
a?xy????，故可排除?C?，
2.4.2利用极限思想解决不等式证明题
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