例9：已知?1?a?1，?1?b?1，求证
112?? 221?a1?b1?ab分析：本题属于不等式证明，可用作差比较法、三角换元法，分析法等，但用极限思想尤为简单 ?1?1?a2?a4?a6?...， 21?a1246?1?b?b?b?...， 21?b11224466???2?(a?b)?(a?b)?(a?b)?...221?a1?b
?2?2ab?2a2b2?2a3b3?...
?2?1?ab?a2b2?a3b3...??2 1?ab当且仅当a?b时，等号成立，故原不等式成立。
2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题
?x?0?例10：不等式组?3?x2?x 的解集是（ ）
?3?x?2?x?A x0?x?2? B ?x0?x?2.5? C x0?x?6 D ?x0?x?3? 分析：此不等式组中关健是解绝对值不等式
???3?x2?x，但是过程相当复杂，如果应?3?x2?x用极限思想并结合排除法，此题便可轻松获解。 解：当x?3时，
3?x2?x1?0，?，显然原绝对值不等式不成立，故排除选项D 3?x2?x5当x?2时，
3?x12?x3?x2?x?，故排除选项A ?0，显然?3?x52?x3?x2?x3?x12?x1?，?，显然原绝对值不等式不成立，故又排除3?x112?x9而当x?2.5时，
选项B。
故正确选项为C。
2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用
2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积
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例11 求抛物线y?x2与直线x?1及x轴围城的阴影部分面积S
图三
解：在x轴上将线段?0,1?等分为n份，每份长度为
1，以每份线段为底，以此线段端点n坐标对应抛物线的值为高分别作n个矩形，由此可见，这n个矩形的面积之和Sn近似等于图中阴影部分面S，当n???时，Sn?S
?Sn?M1?M2?...?Mn
11121n?()2?()2?...?()2 nnnnnn?1222(1?2?...?n) 3nn(n?1)(2n?1)2n3?3n2?n?? 336n6n2n3?3n2?n1?S?limSn?lim?
n??n??6n332.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题
例12：已知抛物线y2?2px(p?0)，试问：在x轴正方向上是否必存在一点M，使得对于抛物线上任意一点过M 的弦PQ均有
11?为定值。 MP2MQ2 11
图四
分析：假设符合条件的点M存在，考虑过点M的一条特殊的弦（垂直与x轴的弦的情形），设Mx0,0?、P0x0,y0?、Q0x0,?y0?,则
???111121 ?????22222MPMQ0y0y0y0px00但是仅凭此式还是看不出M点的位置，再考虑过点M的弦的极限情形一弦与x的正半轴重合，此时过点M的弦PQ的一个端点Q是原点，另一个端点P，则可看成是一个在无穷远的点，
即MP???,则点Mp,0?
下面证明过点Mp,0?的任意一条弦PQ均有
11111，于是，解得x0?p。于是可猜得顶???2222px0x0MPMQ0x00??11为定值。 ?22MPMQ00设过点M的直线方程为
?x?p?tcos?y?tsin?代入抛物线方程得t2sin2??2ptcos??2p2?0
设方程的两根为t1、t2，它们的几何意义分别为MP、MQ的长，则
?2p22pcos?t1?t2?，t1t2?2 2sin?sin?1111(t1?t2)2?2t1t24p2cos2??4p2sin2?1??2 ??2?2?422224ppMPMQt1t2t1t2故点M(p,0)是符合条件的点。
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2.6 数学极限思想在立体几何中的应用
2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用
'''例13：如图，直三棱柱ABC?ABC的体积为V，P、Q分别是侧棱AA' 、CC'上的点，
'且AP?CQ，则四棱锥B?APQC的体积为( )
图五
（A).
1111V (B) V （C）V (D) V
3245解：由于上、下底三角形形状未定，P、Q可移动，直接找VB?APQC与V之间的关系不太方便，在此可考虑P、Q的极端位置:令P?A、Q?C' , 则有
1VB?APQC?VB?ACC'?VC'?ABC?V，故选(B)。
32.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系
例14：一个正四棱台上、下底面边长分别为a、b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系中正确的是( )。 （A）
11111111111?? (B) ? (C) ?? (D) ?? habha?babhbah解析考虑极限情况:令a?b，则由侧面积等于两底面积之和得a2?b2?4ah，即a?2h 对照选项可知(A)符合，故选(A)。
2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹
''''例15：如图，正方体ABCD?ABCD，且点P在侧面BCC'B'及边界上运动，且总保持
AP?BD',则动点P的轨迹是（ ）
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图六
'''' (A)线段BC (B)线段BC (C) BB中点与CC中点连成的线段
'(D) BC中点与BC中点连成的线段
解：直接求符合条件的点P的轨迹不容易，因此，可以考察各选择支P点的极端位置。
'的端点C (即点P与端点C重合)时，易证AP?BD'；当P点运动P点运动到线段BC'到线段BC的端点B'时，也易证AP?BD'。而选择支B、C、D中，当P点运动到各
线段的端点时都不满足AP?BD'。故选(A)。
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