σ
2-6非线性弹塑性模型应力应变关系
应变 软化 应变 软化 ε
尽管在有限元分析中可以考虑更加复杂的本构模型，但目前在工程分析中最普遍的还是理想弹塑性模型[22]，因为理想弹塑性的结果与工程师们熟悉的极限平衡法的结果最具可比性。另外，对一般的边坡和地下工程，边坡的稳定分析主要关心的是力和强度问题，选择理想弹塑性本构模型已能够满足边坡稳定分析的需要[23]。因而边坡工程用理想弹塑性模型是比较好的选择，计算结果能较好的反映土体实际的工作性态。
2.2边坡稳定分析中的非线性有限元方法
2.2.1边坡稳定分析中非线性有限元法类别
根据边坡稳定分析原理与算法的不同，应用于边坡稳定分析的非线性有限元法分为两大类：
⑴基于滑裂面上应力分析的有限元分析方法
以有限元计算得出的域内所有点的应力值为基础，通过插值得到给定的某一形状的滑裂面上各点的应力值，并依据该应力值进一步计算该滑裂面上的抗滑力与下滑力，即可得出基于该特定滑裂面位置的边坡安全系数。比较所有可能发生滑动的滑裂面上的安全系数，并从中确定一个最小值作为边坡的整体安全系数。该方法的实质是研究如何对一个无显式表达式的变量寻找最小值的问题，即优化方法的研究。
⑵强度折减有限元方法
强度折减弹塑性有限元数值分析方法将强度折减技术、极限平衡原理与弹塑性有限元计算原理相结合，首先对于某一给定的强度折减系数，通过逐级加载的弹塑
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性有限元数值计算来确定边坡内的应力场、应变场或位移场，并且对应力、应变或位移的某些分布特征以及有限元计算过程中的某些数学特征进行分析，不断增大折减系数，直至根据对这些特征的分析结果表明边坡己经发生失稳破坏，将此时的折减系数定义为边坡的稳定安全系数。该方法最早在1975年由学者
Zienkiewicz[24]提出，当时由于需要耗费大量机时而未得到重视。随着计算机技术的日益完善，尤其是计算机计算速度几乎以几何级数的增长，使得强度折减有限元方法在边坡稳定性分析中得到了广泛的应用和发展。
国外，Ugai[25]假定土体为理想的弹塑性材料，采用强度折减有限元法较系统地分别对直立边坡、倾斜边坡、非均质边坡及存在孔隙水压力的复杂边坡的稳定性进行了分析研究，并指出弹塑性强度折减有限元法具有较强的适应性和可行性。Matsui和San[26]将强度折减技术与采用Duncan-Chang双曲线模型的非线性有限元法相结合，以剪应变作为边坡破坏评判指标，研究了人工填筑边坡和开挖边坡的稳定性，指出填筑边坡应采用总剪应变，而开挖边坡应采用局部剪应变增量作为失稳破坏标准，并将分析结果与极限平衡法进行了对比。ugai和Leshchinsky[27]将强度折减技术引入弹塑性有限元法中进行边坡的三维稳定性分析，并与极限平衡法的计算结果进行了较全面的比较研究，指出尽管二者的理论基础、实现手段完全不同，但强度折减弹塑性有限元法得出与极限平衡法几乎一致的结果，间接说明了强度折减有限元法的可信性和适应性;Griffiths和Lane[28]假定土体为Mohr-Coulomb材料，采用弹塑性强度折减有限元法较全面地对多个边坡的稳定性进行了分析，随着土体强度的降低，得到了边坡土体单元网格变形图以及边坡土体单元中应力变化发展情况。
国内，宋二祥[29]采用强度折减法对边坡的稳定性进行分析，并以边坡中某一部位的位移变化作为收敛指标。连镇营、韩国城用强度折减有限元方法[30]对开挖边坡的稳定性进行了较为全面的研究，当折减系数达到某一数值时，边坡内一定幅值的广义剪应变自坡底向坡顶贯通时边坡破坏，此时对应的折减系数作为边坡安全系数，并认为:和强度指标相比，弹性模量、泊松比、剪胀角和侧压力系数对边坡的安全系数影响不大，开挖边坡和天然边坡具有相似的破坏形式。赵尚毅、时卫民[31]等将强度折减有限元法应用到边坡稳定分析中，并结合工程算例，对边坡加锚杆前后的稳定性进行了分析，并与传统的求稳定系数的方法进行了比较。赵尚毅、郑颖人等认为通过强度折减，使系统达到不稳定状态时，有限元计算将不收敛，此时的
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折减系数就是安全系数，同时认为安全系数的大小与所采用的屈服准则有关，并对几种常用的屈服准则进行了比较，导出了各种准则互相代换的关系，并采用莫尔-库仑等面积圆屈服准则代替莫尔-库仑准则，并用算例表明求得的边坡稳定安全系数十分接近传统方法的计算结果。通过对边坡非线性有限元模型进行强度折减，使边坡达到不稳定状态时，非线性有限元静力计算将不收敛，可得到边坡破坏时的滑动面及传统条分法无法获得的岩质边坡的滑动面与稳定安全系数;同时对该方法的计算精度及影响因素进行了分析，结果表明采用摩尔一库仑等面积圆屈服准则求得的稳定安全系数与简化Bishop法的误差为3%～8%，与Spencer法的误差为1%～4%。
2.2.2应用非线性有限元法进行边坡稳定分析的优点
边坡稳定性分析的传统方法极限平衡法需要事先知道滑动面位置和形状，不能自动搜索出危险滑动面以及相应的稳定系数。针对极限平衡条分法的上述局限性，人们开始探索新的边坡稳定性分析理论与方法。20世纪60年代以来，有限元方法逐渐用于土质边坡的稳定性分析。与传统的极限平衡方法相比，有限元方法在分析边坡稳定性中具有下列特点：
(1)不需要对土体进行条分，因此不必对土条之间作用力的发生方式进行假定，也不需对滑裂面的性状和位置进行假设，可以确定潜在滑裂面的大致位置，这对于指导施工设计是很重要的。
(2)有限元计算同时满足力和力矩平衡，其计算得到的应力场可以近似看作是在一定边界条件下针对某一特定边坡构型及土性参数得到的真实应力场。
(3)有限元计算中可以考虑边坡土层的复杂应力-应变关系，其为探讨复杂非线性弹塑性本构关系下边坡的破坏模式提供了可能。而极限平衡条分法中土体的屈服与破坏准则仅采用Mohr-Coulomb准则。
(4)根据有限元计算得到的应力场和应变场信息，可以动态模拟边坡的渐进式破坏过程，即可描述边坡屈服的产生、发展及达到屈服破坏的过程。而极限平衡条分法认为边坡的破坏是整个滑裂面上的抗剪强度同步达到土体屈服强度后而瞬间发生的。
(5)可以考虑影响土体稳定的更为复杂因素，如模拟降雨过程、水位降低、地震等对边坡稳定的影响；可以考虑土体与支挡或锚固结构的共同作用和协调变形。
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(6)可以了解土体随强度的恶化而呈现出的渐进失稳过程，了解土体的薄弱部位，从而指导加固设计。
(7)可以考虑不同的施工工序对土体稳定最终安全度的影响，天然边坡，开挖边坡、填筑边坡的安全系数往往是不同的，一次开挖和分级开挖也会不一样。
(8)可以及时地吸收土力学和计算力学发展的最新成果，如考虑应力路径、各向异性、应力轴旋转、土体结构性、土体渐进性破坏对土体稳定的影响。
PLAXIS程序是荷兰开发的岩土工程有限元软件[32]。该程序界面友好，建模简单，能自动进行网格剖分。用于分析土的本构模型有：线弹性、理想弹塑性模型、软土模型、硬化模型和软土流变模型。此类模型可以模拟施工步骤，进行多步计算。其程序能够计算两类工程问题，即平而应变问题和轴对称问题。常用于变形分析与稳定分析。在使用过程中发现PLAXIS程序功能比较强大，能模拟比较多的实际工程，同时用户界面友好，使用也比较方便；能自动生成有限元网格，并通过重要部位网格的细分到达比较好的精度;在后处理方面，该程序能在计算过程中动态显示提示信息，利于工程人员在使用过程对计算结果进行监控。
(l)单元类型
单元类型主要有板单元、土工隔栅单元、界面单元以及专门用来模拟土体的三角形单元。板单元、土工隔栅单元、界面单元可用来模拟结构的反应以及土体与结构的相互作用。PLAXIS自动进行有限元网格划分时，类组被划分为三角形单元。主要分为两种，一种为6节点单元，另一种为15结点单元。15节点单元用来精确计算应力和失效荷载，而6节点单元可以快速计算正常使用状态。
(2)强度折减法的应用
在进行边坡稳定性计算时，PLAXIS程序采用强度折减法。其分析方法是对强度参数tanφ和c不断减小直到计算模型发生破坏。在程序中系数∑Msf定义为强度的折减系数。其表达式为
?Μsf?? （2-1）
tan?reducecreducetan?inputcinput式中: tan?input和cinput为程序在定义材料属性时输入的强度参数值；tan?reduced，
creduced为在分析过程中用到的经过折减后的强度参数值。在该方法中，外部荷载保
持不变，土的强度参数(粘聚力和切线摩擦角)成比例逐渐减小，使土体结构达极限状态，土所具有的强度参数值与相应极限状态的强度参数值之比，就是所求的安全
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系数。程序开始时默认?Msf=1.0，然后∑Msf按设置的数值递增至计算模型发生破坏，?Msf趋于一个常值，反映在位移与安全系数关系曲线上就是曲线基本水平，此时的?Msf为模型的安全系数值。土体趋于破坏状态时，在强度参数不变的情况下变形会持续发展，相应位移继续增大，而安全系数却不会再增大，因此曲线最终成水平状。
(3)弧长控制法的应用
为了跟踪强度参数降低时土的结构变化，PLAXIS程序采用了弧长控制法，以便得到可靠的极限状态及相应的强度参数值tanφreduced和creduced弧长控制法是计算结构破坏荷载及跟踪结构变形曲线软化的一种方法。其基本原理是在迭代过程中调整荷载增量的大小，以得到收敛的解。荷载调整原则是使位移向量增量的内积在迭代过程中保持为常量。对于荷载控制的计算，弧长控制法是PLAXIS程序缺省的方法。如果不采用弧长控制法，从其迭代过程(图2-7(a))可以看出并不收敛。当采用弧长控制法时，其迭代过程如图2-7(b)所示。
step3 荷载
荷载
圆弧 step3 step2 step1 位移
(a)
(b)
位移
step2
step1
图2-7正常迭代与弧长法迭代图
值得指出的是，用PLAXIS进行边坡稳定分析时，由于PLAXIS程序采用弧长控制和自动加载步长，其折减系数不像其他有限元软件那样受增加幅度影响，计算得到的安全系数比较可靠。
(4)有限元建模步骤
PLAXIS有限元建模步骤主要包括:定义单元类型、单元实常数、定义材料属性、建立几何模型，并对几何模型划分网格，生成有限元模型。
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