车间产品甲产品乙车间能力（每天加工工时数）1234利润/每个产品（元）2021．25000321400300540440300
假设每天甲、乙产品的生产产量分别为：x1,x2，则线性规划模型为
maxz?500x1?400x22x1?300??3x2?540??st.?2x1?2x2?440?1.2x?1.5x?30012??x1,x2?0?
使用QM软件求解并回答下面问题。
（1）最优解是什么，最大利润是多少？
（2）哪个车间的加工工时已用完？那个车间的加工工时还没用完？其松弛变量即没用完的加工工时各为多少？
（3）四个车间的加工工时的对偶价格各为多少？请对此对偶的含义予以说明。 （4）如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪一个？为什么？ （5）目标函数中x1的系数在什么范围内变化时，最优解不变。
（6）目标函数中x2的系数从400提高到490时，最优解变了没有，为什么？ （7）请解释右端常数项各值的上限和下限。
（8）车间1的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少，这时最优解变化了没有？
（9） 车间3的加工工时数从440增加到480时，能否求得总利润增加的数量？为什么？ 解：(1)将原模型变换成标准形
maxz?500x1?400x2?0x3?0x4?0x5?0x62x1?x3?300??3x2?x4?540??st.?2x1?2x2?x5?440?1.2x?1.5x?x?300126???xi?0,i?1,2,3,4,5,6
?2??0?A??2??1.2?取B??p3C?CBBCB ?10321.5p41000p5010000100??300????0??540?，b?，C??500?440?0???????1??300?CB??0：0x3 4000000?p6?为可行基，则000?，CBBb?0，B?1?1A?A，A?C，得到最初单纯形表为
0x4 0x5 XB 500x1 400x2 0x6 b 300 540 440 300 150 540 140 120 150 330 70 15 0 0 0 0 cj?zjx3 2? 0 3 2 1.5 400 0 3 2 ?1 0 0 0 0 0.5 0 -1 -0.6 -250 0.5 1.5 -0.5 0.15 -50 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1.5 0.5 -0.75 -200 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 x4 x5 x6 0 2 1.2 500 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 500 0 0 0 cj?zjx1 x4 x5 x6 1.5 400 0 0 1 0 0 500 0 400 0 cj?zjx1 x4 x2 x6 ?最优解为：x1?150，x2?70
最大利润：maxZ?500x1?400x2?500?150?400?70?10300 (2)由最终单纯形表知：x3?x5?0，x4?330，x6?15，因此，一车间和三车间的加工工时已用完，二车间和四车间没有用完，分别剩余330和15个加工工时。
(3)由最终单纯形表知：第一车间的影子价格为-(-50)，即50，第二车间的影子价格为-(-200)，即200。这表示在一定范围内，第一车间每增加一个设备台时，目标函数增加50；第二车间每增加一个设备台时，目标函数增加200。
(4)选择第三车间，因为第三车间的影子价格高，每增加一工时带来的利润大。 (5)由最优单纯形表知：C??500?1??0?0???1BA=?0400001000.51.50001000?，CB?(500??0?1.50.5?0.750??0?0??1??。
04000)，
?0.50.15x1的系数为基变量系数，因此，设：c1的波动为?，令c1=500+?，要使优解不变，则：
C?CBB?1A?0，即：
?500??4000000??(500??0400?1??00)?0??0?00100.51.5?0.50.1501000?1.50.5?0.750??0??00??1??解得：???100，?c1=500+??c1?400
（6）设c2的波动为?，令c2=400+?，若使最优解不变，则：C?CBB
?1??00)?0??0?00100.51.5?0.50.1501000?1.50.5?0.750??0??0?0?1??
?1A?0，即：
?500400??0000??(5000400??解得：?400???100，????100?0?c2?500。
?1(7)常数项波动变化，当bi变化时，只要Bb?0，则B仍是最优基。令b1?300??1，则：
?0.5??1.5??0.5???1Bb?0，即：?0.1501000?1.50.5?0.750??300??????0??540?0??440??????1??300???0
解得：?100???140,?b1?300??1,?200?b1?440 同理：分别令b2?300??2，b3?300??3，b4?300??4； ???，300?b3?460，b4??285，???。 解得：b2??210，(8)400在常数项变化范围（200，440）之间，因此，总利润变化量：50?(400-300)=5000； 最优解变化为：
(9)不能，因为常数项变化超出其变化范围（300，460）。
2．已知线性规划问题:
maxz?x1?2x2??2x1?x2?2???x1?2x2?7st.?x1?3??x,x?012?
的最终单纯形表如表5-11所示。
表5-11 最优单纯形表
cB210cj?zjXBx2x1x3x101002x210000x300100x4120x512b533
0?12132?1?2（1）写出其对偶模型； （2）求出对偶模型的最优解； （3）写出最优基B及其逆矩阵BT?1；
（4）若右端项变为b??(2,12,2)，最优基是否变化？求出变化后的最优解及其最优值。 解：
(1)其对偶模型为：
min??2y1?7y2?y3??2y1?y2?y3?1?st.?y1?2y2?2?y,y,y?0?123
*T*YXS?0??3，5，3，0，0(2)原模型最优解为：，设对偶模型最优解为,知Y1?0；
3Y4?5Y5?0,设对偶模型的剩余变量为Y4，Y5，由YSX?0知：由
非负，故Y4=0，Y5=0，此时对偶模型的约束条件为：
??2Y1*?Y2*?Y3*?1?Y1*?0?*?**Y?2Y?2 ?解得对偶模型的最优解为：?1?Y2?22?*?*Y?01?Y3?1 ??1?B?(P2，P1，P3)??2?0?(3)最优基为
?2?111??0???10?，即：B??0?10???1/20?1/21/2??1?3/2??
?1(4) 常数项波动变化，当bi变化时，只要Bb?0，则B仍是最优基。令b1?2??1，
b2?7??2，b3?3??3则：B?1b?0 ???，?2??3，13?，?1?1，??? 解得：?1???1，6，0，2，0?,最优值12，2)在其变化范围中变化，故最优基不变；最优解为?2，当常数项b?(2，'T为14。
3．给出了下列线形规划：
maxz?6x1?2x2?12x35?4x1?x2?3x3?24?st.?2x1?6x2?3x3?30?x1,x2,x3?0?
的最优单纯形表如表5-12所示。
表5-12 最优单纯形表
cb120cj?zjXbx3s26x1432x21312x31000s1130s2010b86
?2?105?2?1?4（1）求出最优基不变的b2的变化范围； （2）求出最优解不变的c3的变化范围；
（3）在原线性规划的约束条件上，增加下面的约束条件：x1?2x2?2x3?12其最优解是否变化，如变化，求出最优解。
B?1解：(1)设b2的变化为b2??，
?1/3????1?0???11??，只要Bb?0，则b仍为最优基