例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题
如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线y?mx2?2mx?n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．
思路点拨
1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长．
2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．
3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．
满分解答
(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线y?mx2?2mx?n上，所以
4?4m?4m?n?4, 解得，n?4． m???3?m?2m?n?0.(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为y??4284162x?x?4???x?1??，所以原抛物线的对3333,称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为y??4?x?4?2?16． 33
图2
(3) 由点A (-2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝45． 如图2，由AM//CN，可得
B'NB'C2B'C?，即?．解得B'C?5．所以B'MB'A845AC?35．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
①如图3，当标为（3，0）．
②如图4，当
ABB'C55?时，，解得B'D?3．此时OD＝3，点D的坐?ACB'D35B'DABB'D5135B'D??时，，解得B'D?．此时OD＝，点D的
33ACBC'355坐标为（
13，0）． 3
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．
我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．
例7 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为
1y?a(x?1)(x?4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a??．所以抛物线的解析式为
2115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2．
2221（2）设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4))．
21①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM??(x?1)(x?4)，AM?4?x．
21?(x?1)(x?4)AMAO??2，那么2如果?2．解得x?5不合题意． PMCO4?x1?(x?1)(x?4)AMAO11??，那么2如果?．解得x?2． PMCO24?x2此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM?1(x?1)(x?4)，AM?x?4． 21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x?5．此时点P的坐标为(5,?2)．
x?41(x?1)(x?4)12解方程?，得x?2不合题意．
x?421③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM?(x?1)(x?4)，AM?4?x．
21(x?1)(x?4)2解方程?2，得x??3．此时点P的坐标为(?3,?14)．
4?x1(x?1)(x?4)1解方程2?，得x?0．此时点P与点O重合，不合题意．
4?x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(?3,?14)或(5,?2)．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y?设点D的横坐标为m(1?m?4)，那么点D的坐标为(m,?1x?2． 2125m?m?2)，点E的221121251坐标为(m,m?2)．所以DE?(?m?m?2)?(m?2)??m?2m．
2222211222因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)?4．
22当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．