图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．
思路点拨
1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．
2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．
3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．
4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．
满分解答
(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．
在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．
如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，时CM?AN35t330?，?．所以解得t?．此AM53110?2t560． 31
图2 图3 图4
(3)如图5，图6，图7中，
OP28OPMP?．所以OP?t． ，即?4t55QNMN8581020(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8?t?10?5t，得t?．此时CM?．
17175①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP?8?t，BN?10?5t． (Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE?451?8?4BN．解方程?8?t???10?5t?，得t?．此
452?5?5时CM?5． 212414?8?BP．解方程?10?5t???8?t?，得t的值为负数，525?5?(Ⅲ)当PB＝PN时，BN?因此不存在PB＝PN的情况．
②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时BN?5t?10．解方程8?t?5t?10，得t?
853060．此时CM?． 1111
图5 图6 图7
考点伸展
如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，
14BN?BP，这样计算简便一些． 25
例6 2010年南通市中考第27题
如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y?12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．
拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．
思路点拨
1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．
2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．
3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；
第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此
DCEBm8?x?，即?．整理，得y关于x的函数关CEBFxy系为y??128x?x． mm(2)如图2，当m＝8时，y??值为2．
121x?x??(x?4)2?2．因此当x＝4时，y取得最大881218122??x2?x．，那么整理，得x?8x?12?0．解得x＝2或x＝6．要
mmmm使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x
(3) 若y?＝y．将x＝y ＝2代入y?图4）．
1212，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y?，得m＝2（如mm
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y??1281116x?x??(x2?8x)??(x?4)2?， mmmmm那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为
多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程
x??
128x?x总有一个根x?8?m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． mm
例7 2009年重庆市中考第26题