垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．
思路点拨
1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．
3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．
满分解答
CPPMMC???1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以BDDMMBAD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．
（2）在△APD中，AD2?(4?m)2，AP2?m2?4，PD2?(2PM)2?4?4(2?m)2．
3①当AP＝AD时，(4?m)2?m2?4．解得m?（如图3）．
24②当PA＝PD时，m2?4?4?4(2?m)2．解得m?（如图4）或m?4（不合题意，
3舍去）．
2③当DA＝DP时，(4?m)2?4?4(2?m)2．解得m?（如图5）或m?2（不合题意，
3舍去）．
342综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．
233（1）因为PC//DB，所以
图3 图4 图5
（3）点H所经过的路径长为
5?． 4 考点伸展
第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
PCMB1①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以因??．
CMBA213此PC?，m?．
22②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此4?m?2m．解4得m?．
3第（2）题的思路是这样的：
如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．
图6 图7
例4 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．
（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
?y??x?7,?x?3, 所以点A的坐标是(3，4)． （1）解方程组? 得?4?y?x,?y?4.?3?令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?S△POR?8，
111得（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t2?8t?12?0．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
35520在△APQ中， cos?A?为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?OR?t?．
533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7?t?t?，得t?．
833如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程
7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．
1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cos?A?．因此AQ?2AP．解方程?cos?AAP5203226． t??2(7?t)?，得t?43335综上所述，t＝1或
41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．
例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题
如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．