??x?2?xk证：考虑迭代式?k?1x0?0??(k?0,1,2,?)则
x1?2x2?2?2 ?xk?2?2???2?
显然xk??0,2? 记迭代函数?(x)?2?x,x??0,2?则:?'(x)?1
22?x??x??0,2?
有1°?(x)??0,2? 2°?'(x)??'(0)?1?1 22由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知
?x0??0,2?由xk?1?2?xk所产生序列收敛于x??(x)?2?x的根 在?0,2?上解方程x?2?x得惟一根x=2。
?limxk?2
k??
4、研究求a的牛顿公式
1axk?1?(xk?),x?0,k?0,1,?
2xk证明：对一切k?1,2,?,xk?a，且?xk?单调递减，从而收敛。 分析，令x?a,x?0,则x2?a,x?0,令f(x)?x2?a 由牛顿公式
2f(xk)xk?a1axk?1?xk?'?xk??(xk?)
f(xk)2xk2xk证：a?0,x0?0,故xk?0,(k?1,2,?)
1a1axk?1?(xk?)??2?xk??a
2xk2xk
11
xk?11a?(1?2)?1 xk2xk??xk?单调递减有下界，必收敛
5、设?(x)?x?c(x2?3)，应如何选取c才能使迭代式xk?1??(xk)具有局部收敛性
2?xk?1??(xk)?xk?c(xk?3)解：迭代格式??x0给定k?0,1,2,?
局部收敛，设迭代序列的极限值为?，则有
????c(??3)
得?2?3或???3
?'(x)?1?2cx
当?'(3)?1,即1?23c?1,即?1?c?0时,由局部收敛定理知 3迭代格式xk?1??(xk)局部收敛于3 '（?3）?1,即1?23c?1，即0?c?当?1时,由局部收敛定理知 3迭代格式xk?1??(xk)局部收敛于?3 6、给出计算x?11?11??的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明x?5?1 2解：令x1?111,x2?,?,xn?1?,?
111?11?1?1?11??其中，xn中有n条分数线 则：xn?1?令f(x)?1,且limxn?x n??1?xn1则xn?1?f(xn) 1?x12
?1?显然，?x0?0,x1?(0,1),xk??,1?,k?2,3,?
?2??1?我们不妨在?,1?上讨论迭代式xn?1?f(xn)的收敛性
?2??1?ⅰ：?x??,1?,?2??1?ⅱ：?x??,1?,?2?f(x)?1?1???,1? 1?x?2?14??1 2(1?x)9f'(x)?ⅲ：f'(x)??11 ?C?1?2,11?x?2???1?1?所得序?由全局收敛定理（压缩映像原理）?x0??,1?,xk?1?f(xk)?1?xk?2?列必收敛于方程x?f(x)?解方程x?1的根。 1?x15?1得x? 1?x2?limxn?n??5?1 2?5?12即：
1?111?? 13
第六章 插值法与数值微分
1、设f(x)?c2?a,b?，且f(a)?f(b)?0，求证
(b?a)2maxf(x)?maxf''(x) a?x?ba?x?b8证：以a,b为插值节点进行线性插值，其插值多项式为
L1(x)?x?bx?af(a)?f(b)?0 a?bb?a由插值余项定理
f''(?)f(x)?L1(x)?(x?a)(x?b)2!??(a,b)
f''(?)1?f(x)?(x?a)(x?b)?maxf''(?)?max(x?a)(x?b)a?x?b2!2a???b1?(b?a)2maxf''(x)a?x?b82、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足：
H(0)?1,H'(0)?0.5,H(1)?2,H'(1)?0.5
解：（法一）首先构造如下的基函数表
则：
函数值 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 导数值 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 ?1(x) ?2(x) H1(x) H2(x) ?1(x)?(ax?b)(x?1)2??1(x)?(2x?1)(x?1)2 ?2(x)?(ax?b)?(x?0)2??2(x)?(?2x?3)?x2
H1(x)?ax(x?1)2?H1(x)?x(x?1)2
14
H2(x)?a(x?1)?x2?H2(x)?(x?1)?x2
?H(x)?(2x?1)(x?1)2?2(?2x?3)?x2?11x(x?1)2?(x?1)?x2 22（法二）：令H(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3
?a0?a1?0?a2?02?a3?03?1?23?a0?a1?1?a2?1?a3?1?2 ?2?a1?2a2?0?3a3?0?0.52??a1?2a2?1?3a3?1?0.513a0?1a1?a2?a3??1
2213?H(x)?1?x?x2?x3
22则H'(x)?a1?2a2x?3a3x2
3、确定一个不高于四次的多项式H(x)，使得：
H(0)?H'(0)?0,H(1)?H'(1)?H(2)?1
解：（法一）首先构造如下的基函数表
则：
54?1(x)?(ax?b)x2(x?2)??1(x)?x2(x?2)2 0 1 0 0 0 0 函数值 1 0 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 导数值 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ?0(x) ?1(x) ?2(x) ?0(x) ?1(x) ?0(x)?(ax?b)(x?1)2(x?2)??0(x)?(?x?)(x?1)2(x?2)
12x(x?1)2412?2(x)?a(x?1)2x2??2(x)? 15