∴Tn=×3n+1﹣． 点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用． 18．（14分）已知函数
．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值． 考点： 解三角形；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 解三角形． 分析： （1）将f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间； （2）由（1）确定的函数解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，将表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出正弦函数的最大值，即为b+c的最大值． 解答： 22解：（1）f（x）=cosx﹣sinx+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+）， ∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T=π， 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ﹣，π+]，k∈Z； ）=， ≤x≤π+，k∈Z， 则f（x）的单调增区间为[kπ﹣（2）∵f（A）=2sin（2A+∴2A+∵a==，∴A=， ==）=1，∴sin（2A+， ，∴B+C=，sinA=∴由正弦定理得：==2， ∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（=2（sinB+cosB）=2﹣B）]=2（sinB+）≤2， cosB+cosB） sin（B+． ∴当B=时，b+c最大为2点评： 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌
握定理及公式是解本题的关键． 19．（12分）已知函数
．
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围． 考点： 函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）令t=log4x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域； （2）令t=log4x，则可将已知问题转化为2t﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案． 解答： 解：（1）， 此时，当t=时，y取最小值， ， 2当t=或1时，y取最大值0， ∴ （2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立， 令t=log4x， 2即2t﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立， ∴易知对t∈[1，2]恒成立 在t∈[1，2]上单调递增 ∴g（t）min=g（1）=0， ∴m≤0． 点评： 本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档 20．（15分）（2010?汕头模拟）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF； （2）求多面体A﹣CDEF的体积．
考点： 直线与平面平行的判定；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）通过三视图说明几何体的特征，证明MN平行平面CDEF内的直线BC，即可证明MN∥平面CDEF； （2）说明四边形 CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面体A﹣CDEF的体积． 解答： 解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰 直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形． 连接EB，则M是EB的中点， 在△EBC中，MN∥EC， 且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF， ∴MN∥平面CDEF． （2）因为DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD， 又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE， ∴四边形 CDEF是矩形， 且侧面CDEF⊥平面DAE 取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴， 且AH⊥平面CDEF． 所以多面体A﹣CDEF的体积． 点评： 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力． 21．（10分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R） （1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在点（2，f）处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数
在区间（t，3）上总不为单调函数，求m的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间． （2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
从而求m的取值范围． 解答： 解：（1）， a＞0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减； a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增； a=0时，f（x）不是单调函数． （2）由f（′2）=1得a=﹣2，所以f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，则故g′（x）=3x+（m+4）x﹣2 因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2， ∴． 2， 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立， 综上，． m的取值范围为：． 点评： 本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．