关于级数敛散性判别法的探讨
数学学院数学与应用数学专业 2012级 孙宝莲
指导教师 吴春
摘 要：数项级数是数学分析和微积分中的主要内容之一，而级数的敛散性是我们研究级数的前提，所以我们有必要对级数敛散性判别法进行深入的研究。我们研究过的数项级数敛散性的判别法有很多种，比如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、拉贝判别法、高斯判别法、狄立克雷判别法、莱布尼兹判别法等。本文将对各种数项级数敛散性判别法进行归纳。使之系统化。
关键词：正向级数；交错级数；敛散性；判别法
Abstract：The number of series is one of the main contents of mathematical analys
is and calculus, The convergence and divergence of series is the premise of our research series, so we have the necessity to study the series convergence criterion deeply. The several series of convergence and divergence criterion that we havestudied has a lot of kinds, such as comparison criterion,Cauchy criterion, D'Alembert discriminant method, integral criterion, John rabe discriminant method, Gauss criterion, Dirichlet criterion, Leibniz discrimination method and so on.Thisarticle will summarizes on divergence criterion about kinds of several.
Key words：positiveseries; alternating series; convergence and divergence; discriminance.
级数是数学分析中的一个基本而又重要的知识点，是数学分析的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，该论文在正项级数、交错级数的敛散性判别方法及其应用以及各种敛散性判别法之间的比较及使用范围进行了研究，该论文通过归纳总结级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行了判断。
第1页（共17页）
1 敛散性定义
我们要研究级数从而正确的应用级数，首先就得对级数的性质有所掌握，在级数的性质里级数的敛散性是研究级数首要解决的问题，下面我们先来了解一下级数敛散性的定义。
定义1.1[1]设数项级数
?an?1?n?a1?a2???an??
的前n项部分和为
Sn?a1?a2??+an??ai.
i?1n若n项部分和数列?Sn?收敛于有限值S，即存在一个实数S, 使
limSn?S,
n??则称这个级数是收敛的，否则我们就说级数是发散的。在收敛的情况下，我们称S为级数的和。可见，无穷级数是否收敛，取决于limSn是否存在。
n??
2 正向级数的敛散性判别法
级数分为正向级数和任意项级数，而正向级数是一种特殊的级数，更是一种中最基本的级数，研究正向级数的敛散性是我们首要任务，下面我们将研究正向级数的一些判别法进行归纳总结。也为研究其他级数敛散性提供研究思路。
定义2.1[1]每一项都是非负的级数称为正向级数。
设正向级数?un(un?0，n=1,2,3，…)的部分和为Sn,显然部分和数列?Sn?为
n?1?单调增加的，如果这个数列具有上界，那么它的极限必存在。如果这个数列没有
第2页（共17页）
上界，那么它发散??。根据这一基本事实，便得到正向级数收敛的充要条件。 定理2.1[1]如果正向级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛；如果正向级数的部分和数列无上界，则此级数发散到??。 2.1 比较判别法
2.1.1 比较判别法及其极限形式
定理2.2（比较判别法） 设有两个正项级数?un和?vn，存在常数c?0及
[1]??n?1n?1正整数N，当n?N时有
un?cvn
则
（i）若级数?vn收敛，则级数?un也收敛；
n?1n?1??（ii）若级数?un发散，则级数?vn也发散。
n?1n?1??下面给出比较判别法的极限形式，它在判别级数敛散性时更为方便。 定理2.3（比较判别法极限形式） 设两个正项级数?un和?vn，有
[1]??n?1n?1limun?? n??vn（i）若0＜?＜＋?时，则两个级数同时敛散；
（ii）若?＝0时，若级数?vn收敛，则级数?un也收敛；
n?1n?1??（iii）若??＝??时，若级数?vn发散，则级数?un也发散。
n?1n?1??2.1.2 比较判别法的应用
级数比较判别法使用范围较广泛，适用于大部分无法通过其它方法判别敛散性的正向级数。下面列出几种选取不同的级数作为比较对象的级数敛散性判别法，选取恰当的级数作为比较对象会使解决级数判别敛散性事半功倍。 （1）当所判别的级数中出现有理式时,则比较级数常常选取p?级数或调和
第3页（共17页）
级数。
注2.1 p?级数判别法：?1(p?0) pn?1n?①当0?p?1时，级数发散； ②当p?1时，级数收敛。 例2.1判别级数?1的敛散性。
n?1n(n?1)??111?2,又由于?2收敛（p?2）,则由比较判别法,得原级解因为
n(n?1)nn?1n数?1也收敛。
n?1n(n?1)?（2）当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,适当的放缩函数，从而选取恰当的级数作为比较对象。 例2.2设an??tanxdx，证明级数?40n??n?1an(??0)收敛。 n?证明 由an??tanxdx??4tannxsec2xdx
n0?40????401??tann?1xtanxdtanx?n?1??n?40???1?1 ?n?1n??an11得0???1??，因为1???1，所以?1??收敛，
nnn?1n?则由比较判别法知?n?1ann?收敛。
(3) 当所求级数的通项难以放缩为其他函数时,可采用比较判别法的极限形式来判别级数的敛散性。 例2.3
[7]判别级数?4n?1的敛散性。 2n?1n?114n2?n]?lim?4,又因为nn??n2?1?解由于lim[n??4n?1n2?11是发散的,由比较判别法极?nn?1?第4页（共17页）
限形式知原级数也发散。
以上是我们应用比较判别法经常遇到的类型，比较判别法简单、灵活，选取适当的比较函数是应用比较判别法的关键。一般情况下使用比较判别法的极限形式会更方便。 2.2 柯西判别法
2.2.1 柯西判别法及其极限形式 定理2.4[3]（柯西判别法） 设
?un?1?n是正项级数，
（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）满足着nun?q?1（q为某确定的常数），则
?un?1?n收敛；
? （ii）若从某项起满足着nun?1，则?un发散。
n?1证明 （i）若当n?N时成立nun?q?1，那么有?0??xpsinxdx(q?0)，q1?xn而级数
?qn?1?n（q?1）是收敛的，再根据比较判别法得知
?un?1?也收敛；
（ii）若从某项起，若当n?N时成立nun?1，则有un?1，故limun?0，
n??由级数收敛的必要条件知级数?un发散。
n?1?定理2.5
[3]（柯西判别法极限形式）设?un为正项级数，limnun?r，则
n?1n???（i）当r?1时，级数?un必收敛；
n?1?（ii） 当r?1（或r???）时，级数?un发散。
n?1?注2.2在比较判别法和柯西判别法的极限形式中，对r?1的情形都没有说明，
第5页（共17页）