实际上，当它们的极限limn??un?1?1或limnun?1时，这种情况下无法用这两个判
n??un??11别法来判别级数的敛散性。例如级数?和?2，都有
n?1nn?1n1nlimn?1?lim?1 n??n??n?11n12(n?1)2?n?lim?lim???1 n??n??n?11??2nlimnn???11但?发散而?2收敛。 n?1nn?1n?11?1limn2?1 n??nn2.2.2 柯西判别法的应用
例2.4判别级数?(n?1?nn)的敛散性。 2n?1解由于limnun?limn(n??n??nnn1)?lim??1,
n??2n?12n?12?则根据柯西判别法的极限形式，可得级数?(n?1nn)收敛。 2n?12.3达朗贝尔判别法
2.3.1 达朗贝尔判别法及其极限形式
定理2.6
[4](达朗贝尔判别法)设?un为正项级数，存在常数q，
n?1???un?1?q?1，则级数?un收敛； （i）若?N?N,?n?N，有 unn?1?un?1（ii）若?N?N,?n?N,有 ?1，则级数?un发散。
unn?1?第6页（共17页）
定理2.7
un?1?l.
n??un[4](达朗贝尔判别法的极限形式)设
?un?1?n为正向级数,且
lim（i）当l?1时，级数?un收敛；
n?1?（ii）当l?1时，级数?un发散。
n?1?2.3.2 达朗贝尔判别法的应用
例2.5判别级数?n?1?n!的敛散性。 nn解因为limun?1(n?1)!?lim[n??un??(n?1)n?1nnnn!1n1所以]?lim()?lim[1(1?)]??1，nn??n??nnn?1e?根据达朗贝尔判别法的推论知，级数?n?1n!收敛。 nn5n例2.6判别级数?5的敛散性。
n?1n?un?15n?1解由于lim?lim[n??un??(n?1)5n5n的推论知,级数?5发散。
n?1n?n55n根据达朗贝尔判别法]?lim5()?5?1，
n5n??n?12.4 积分判别法 2.4.1 积分判别法
定理2.8[9](积分判别法)设f为[1,??]上非负减函数,那么正项级数?f(n)与反常积分???1f(x)dx同时收敛或同时发散。
2.4.2 积分判别法的应用
例2.7 判别级数?1的敛散性。 3n?1n?第7页（共17页）
解 将原级数???1换成积分形式 3n?1n????即???11??111dx由于dx???1x3x32x2?lim(?1p???1111)?(?)?0?? 22p222?11dx收敛,根据积分判别法可知，级数也收敛。 ?33xn?1n1例2.8 证明调和级数?发散。
n?1n1解 将原级数?换成积分形式
n?1n???即???1??1??11??dx?lnx????0???, ,由于dx?11xx?11dx发散，根据积分判别法可知，调和级数?发散。 xn?1n2.5 拉贝判别法 2.5.1 拉贝判别法
定理2.9
[9](拉贝判别法)设有正项级数?un，存在常数q。
n?1???un?1)?q?1,则级数?un收敛； （i）若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1?un?1)?1,则级数?un发散。 （ii）若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1?定理2.10（拉贝判别法极限形式 ） 设有正项级数?un，且极限存在若
[9]?n?1limn(n???un?1?1)?l. un（i）当l?1时,级数?un收敛；
n?1（ii）当l?1时,级数?un发散。
n?1?第8页（共17页）
2.5.2 拉贝判别法的应用
?1?3???(2n?1)?例2.9[10] 讨论级数???当s?1,2,3时的敛散性性。 2?4???(2n)n?1???s解当s?1时，由于n(1?un?12n?1n1)?n(1?)???1(n??)， un2n?22n?22所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的。
当s?2时,由于n(1?所以原级数是发散的。
un?12n?12?n(4n?3)?)?n?1?()???1(n??), 2un2n?2?(2n?2)?un?12n?13?n(12n2?18n?7)3?当s?3时，因n(1?)?n?1?()???(n??), 3un2n?2(2n?2)2??所以原级数收敛。 2.6 高斯判别法 定理2.11
[4]（高斯判别法） 设?un是正项级数，并且满足
n?1?unuv?1??????o??. un?1nnlnn?nlnn?则有
（i）若??1或者??1，u?1或者??u?1,v?1，则级数?un收敛；
n?1?（ii）若??1或者??1，u?1或者??u?1,v?1，则级数?un发散。
n?1?定理2.12
[4]（高斯推论） 设?un是正项级数，并且满足
n?1??1?unu????O?2?. un?1n?n?则有
（i）若??1或??1，u?1，则级数?un收敛；
n?1?（ii）若??1或??1，u?1，则级数?un`发散。
n?1?第9页（共17页）
2.7 正向级数不同判别法的应用
尽管我们已经学习和掌握了很多种关于正向级数的判别法，但是我们在应用的时候难免会为了选择哪种判别法而浪费时间，这就需要我们对各种判别法进行系统归纳，找出其各自的特点进行对比，或者我们在平时接触的一些级数进行分类，掌握什么样的级数选择哪种方法才更有效的解决问题。以下是一些常见正向级数类型的简单总结归纳：
（1）当级数表达式为含参数的一般形式、通项为等差或等比形式、通项为含二项以上根式且通项极限无法求出的时候，通常可以选用正项级数的充要条件进行判断，即正向级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛。
（2）当级数表达式为
1un的任意函数时；，级数一般项如含有sin?或cos?un等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数，P级数，调和级数进行比较，比如limun?1u、limnun不易算出或limn?1?1等此类无法判断级数收敛n???n???un???unn?n1?1?性时，通常应该选用比较判别法，例?????a?1?级数收敛。 n1?a?a?n?1（3）当级数同时含有阶乘，n次幂时，如a!或an，或分子、分母含多个因子连乘除时，通常选用达朗贝尔判别法。当级数通项含(?1)n、un的函数时，通常可以选用柯西判别法的极限形式进行判断。
（4）当级数含有阶乘和n次幂时，如含有a!与an时，又或者使用达朗贝尔判别法、柯西判别法时极限等于1时，这种情况通常应该选用拉贝判别法。例如
?un?1?enn!1??limn1???，因为，所以级数发散。 ?n?n???u2nn?1n???
3 任意项级数的敛散性判别法
以上我们研究了正向级数敛散性判别法的一些判定方法，接下来我们进行对一般项级数的敛散性进行探究，在研究一般项级数敛散性的判别法前先引入两个
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