第五章 多元函数微分学
§5.1 多元函数的概念、极限与连续性
（甲）内容要点 一、多元函数的概念
1. 二元函数的定义及其几何意义 设D是平面上的一个点集，如果对每个点的二元函数，记以z二元函数z按照某一对应规则fp?x，y??D，
，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y?f?x，y?，D称为定义域。
它在xy平面?f?x，y?的图形为空间一块曲面，
上的投影区域就是定义域D。
例如
22z?1?x2?y2，D: x?y?二元函数的图1形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2. 三元函数与n元函数。
u?f?x，y，z?，?x，y，z???，?为空间一个点集则称u?f?x，y，z?为三元函数 u?f?x1，x2，?，xn?，称为n元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 二、 二元函数的极限
设有
f?x，y?在点?x0，y0?的去心邻域内有定义；如果对任意??0，存在??0，只要0??x?x0???y?y0?22??，就
f?x，y??A??
则记以
x?x0y?y0limf?x，y??A或
?x，y???x0，y0?limf?x，y??A
称当
?x，y?趋于?x0，y0?时，f?x，y?的极限存在，极限值为A，否则，称为极限不存在.
?x，y?趋于?x0，y0?是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于?x0，y0?，所以二元函数的极限比一元
值得注意：这里
函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单地讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三、二元函数的连续性
1.二元函数连续的概念 若
x?x0y?y0limf?x，y??f?x0，y0?则称f?x，y?在点?x0，y0?处连续。
若
f?x，y?在区域D内每一点皆连续，则称f?x，y?在D内连续。
f?x，y?在闭区域D上连续，则f?x，y?在D上一定有界。
f?x，y?在闭区域D上连续，则f?x，y?在D上一定有最大值和最小值。
?x，y??D2.闭区域上连续函数的性质。 定理1 （有界性定理）设
定理2 （最大值最小值定理）设
?x，y??Dmaxf?x，y??M（最大值）
minf?x，y??m（最小值）。
为最大值，m为最小值，若m定理3 （介值定理）设
f?x，y?在闭区域D上连续，M?c?M，则存在
?x0，y0??D，
使得
f?x0，y0??C。
（乙）典型例题 一、求二元函数的定义域 【例1】 求函数z?arcsinx?xy的定义域， 3解 要求
x?1，即?3?x?3；3?0即x?0，y?0或x?0，y?0
又要求xy综合上述要求得定义域
??3?x?0?0?x?3或???y?0?y?0【例2】 求函数z?4?x2?y2?ln?y2?2x?1?的定义域。
2解 要求4?x?y2?0和y2?2x?1?0
即
222??x?y?2 ?2??y?1?2x函数定义域D在圆x2?y2?22的内部 y2?1?2x的左侧
（包括边界）和抛物线
（不包括抛物线上的点） 二、有关二元复合函数 【例1】 设解 设x?f?x?y，x?y??x2y?y2，求f?x，y?。
11?u?v?，y??u?v? 221122代入所给函数化简 f?u，v?＝?u?v??u?v???u?v?
841122故 f?x，y?＝?x?y??x?y???x?y?
84y?u，x?y?v解出x?【例2】 设
f?x?y，xy?＝x2?3xy?y2?5，求f?x，y?。
x2?3xy?y2?5??x2?2xy?y2??xy?5
??x?y??xy?5
2解 ?
? f?x，y??x2?y?5
三、有关二元函数的极限 【例1】 讨论lim?1?x??y?ax2x?y??1??xy?xy（a?0常数）。
??1??解 原式?lim??1???x??xy??y?a????xyx2xy?x?y?
而
?1??1?lim?1??令t?xylim?1???e x??t??xy??t?y?a?1x211lim?lim?，?原式?ea x??xy?x?y?x??y?a?y?ay?ay1????x?t又
x2y【例2】 讨论lim4x?0x?y2y?0
lx3?0 解 沿y?lx，原式?lim4x?0x?l2x2lx4l?但沿y?lx，原式?lim4x?0x?l2x41?l22
可见原式的极限不存在。 【例3】 讨论limx?0y?0x2y432x?y2
解 ?2x4?y2?2x2y，??x?y??02232??
?
xyxy21120?4??y
x?y22x2y223而
lim112y?0；lim0?0
x?02x?0y?0y?00
§5.2 多元函数的偏导数与全微分
用夹逼定理可知 原式?
（甲）内容要点 一、偏导数 1. 定义 设二元函数z?f?x，y?
若
?x?0limf?x0??x，y0??f?x0，y0??z存在，则记以fx??x0，y0?，或，或z?，y?在点?x0，y0?x?x0，y0?称为z?f?x?x?x?x0，y0?处关于x的偏导数。 同理，若
?y?0limf?x0，y0??y??f?x0，y0??z??x0，y0?，或存在，则记以fy，或z?，y?在点y?x，y?称为z?f?x00?y?x0，y0??y?x0，y0?处关于y的偏导数。
类似地，设u?f?x，y，z?
df?x，y0，z0?dxx?xdf?x0，y，z0?dy
fx??x0，y0，z0?即 fy??x0，y0，z0?即 fx??x0,y0,z0?即
df?x0,y0,z?dzz?z0
y?y0
02.二元函数偏导数的几何意义
fx??x0,y0?表示曲面z?f?x,y?与平面y?y0的截线在点?x0,y0,f?x0,y0??处的切线关于x轴的斜率；fy??x0,y0?表示曲面z?f?x,y?与平面x?x0的截线在点?x0,y0，f?x0,y0??处的切线关于y轴的斜率
3.高阶偏导数 设z?f?x,y?的偏导数fx??x,y?和fy??x,y?仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为z?f?x,y?的二阶偏导数，共有四种
???z??2z???z??2z???x，y? ???x，y? ?fxy???2?fxx????x??x??x?y??x??x?y???z??2z???z??2z???x，y? ???x，y? ?fyx??????2?fyy?x??y??y?x?y??y??y?2z?2z?2z?2z当在?x，y?处为连续则，也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。 ，??x?y?y?x?x?y?y?x类似地，可以讨论二元函数的三阶及n阶偏导数。 也可以讨论n元函数二、全微分
1. 二元函数的可微性与全微分的定义 设z?n?3?的高阶偏导数。
?f?x，y?在点?x0，y0?处有全增量
?z?f?0x?，?x0y?fx 0??y??，?0y?0若 其中
?z?A?x?B?y?o??? ?????x????y?22?
A，B不依赖于?x，?y只与x0，y0有关，则称z?f?x，y?在?x0，y0?处可微，而A?x?B?y称为z?f?x，y?在
00?x0，y0?处的全微分，记以dz?x，y?或df2. 二元函数的全微分公式 当z?x0，y0?
?f?x，y?在点?x0，y0?处可微时
dz?x，y??fx??x0，y0??x?fy??x0，y0??y
00则
这里规定自变量微分dx一般地
?fx??x0，y0?dx?fy??x，0y?dy0
??x，dy??y。
dz?df?x，y??fx??x，y?dx?fy??x，y?dy
3. 二元函数全微分的几何意义 二元函数z?f?x，y?在点?x0，y0?处的全微分dz?x0，y0?在几何上表示曲面z?f?x，y?在点?x0，y0，f?x0，y0??处切平面
上的点的竖坐标的增量。 4.
n元函数的全微分公式
类似地可以讨论三元函数和n元
?n?3?函数的可微和全微分概念，在可微情况下，
df?x，y，z??fx??x，y，z?dx?fy??x，y，z?dy?fz??x，y，z?dz
df?x1，x2，?，xn???fx?k?x1，?，xn?dxk
k?1n三、偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系