一、求z?f?x，y?的极值
求出驻点
??fx??x，y?＝0第一步?
?fx，y＝0???y?第二步 若?k若?k若?k2?，l? ?xk，yk? ?k?1， 2???xk，yk?fyy???xk，yk??????xk，yk??令?k?fxx?fxy? 则
不是极值 f?xk，yk?
?0 ?0 ?0
则 不能确定（有时需从极值定义出发讨论） 则
是极值 f?xk，yk? 则 则
为极小值 f?xk，yk? 为极大值 f?xk，yk? 进一步 若 若 二、求多元求u????xk，yk??0 fxx???xk，yk??0 fxx?n?2?函数条件极值的拉格朗日乘子法
的极值 f?x1，?，xn? 约束条件
?，xn?＝0??1?x1，?? ?m?n? ? ??，xn?＝0??m?x1，m作F?F?x1，?，xn，?1，?，?m?＝f?x1，?，xn??????，xn? ii?x1，i?1?Fx?1?0??? ?Fx??0?n ??，xn??0?F??1??1?x1，? ????，xn??0?F??m??m?x1，求出
?，x????k?1， 2，?l?是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方程的关键是解方程组的?x??，kk1n有关技巧。
三、多元函数的最值问题 （乙）典型例题 一、普通极值问题 【例】 求函数z?x4?y4?x2?2xy?y2的极值
解
?z?z?4x3?2x?2，y ?4y3?2x?2y ?x?y
要求 故知x?z?z??0，得 ?x?yx?y?2x3?2y3
?y，由此解得三个驻点
?x?0 ?y?0?
?x?1 ?y?1?
?x??1 ?y??1??2z?2z?2z2?12x?2，又??2，2?12y2?2在点?1， 1?处 2?x?x?y?y
?2zA?2?x1??1，＝10，
?2zB??x?y?0
1??1，＝-2，
?2zC?2?y1??1，＝10
又
??AC?2B9?6A＝10?0，??11，?是极小值点
极小值z1??1，＝-2
在点
??1，-1?处
??1，-1??2zA?2?x＝10，
?2zB??x?y??1，-1?＝-2，
?2zC?2?y??1，-1?＝10，
??AC?B2?96?0，A＝10?0，??1，-1?也是极小值点
极小值z??1，-1?＝-2
在点
?0，0?处
?0，0??2zA?2?x＝-2，
?2zB??x?y?0，0?＝-2，
?2zC?2?y?0，0?＝-2
??AC?B2?0，不能判定。
这时取x而取x
二、条件极值问题
??，y???（其中?为充分小的正数）则z?2?4?0
时，z?y???2?4?4?2?0
由此可见
?0，0?不是极值点
【例1】
x2y2z2在椭球面2?2?2?1第一卦限上p点处切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求p点坐标。
532解 设
?2x2y2z?p点坐标?x，y，z?，则椭球面在p点的切平面的法向量为?2，2，2?
?532?22x?X??x??yY??2591y??2z??Z0 ?z切平面：
?x2y2z2?221xX?yY?zZ?2?2?2?2??0 2592?532?即
221xX?yY?zZ?2?0 259225x轴截距?Y?0，Z?0? X?
xy轴截距?Z?0，X?0? Y?25 y4z，所以四面体的体积
z轴截距?X?0，Y?0? Z?V?12594150 ? ? ? ? 6xyzxyzx2y2z2＝0?x>0，y>0，z>0?用拉格朗日乘子法，令 约束条件 2?2?2?1532?x2y2z2?150 F?F?x，y，z，??????2?2?2?1?
xyz?532?Fx???1502??x?0 ?1? x2yz251502??y?0 ?2? xy2z91502??z?0 ?3? 2xyz4Fy???Fz???x2y2z2F???2?2?2?1?0 ?4?
532用x乘
?1??y乘?2??z乘?3?得
450?2??0 xyz?450 ?5? xyz ?则 2?将
?5?分别代入?1?，?2?，?3?得
x?532，y?，z? 333所以
p点坐标为??532?，，?而最小体积V?153. ?333?