设z?f?x，y?，则
?z?z，连续?dz存在?x?y??z?z，存在?x?y ?z?f?x，y?连续四、方向导数与梯度（数学一）（略） 五、二元函数的二阶泰勒公式（数学一） 设z?f?x，y?在点?x0，y0?的某一个邻域内有三阶连续的偏导数。?x，y?为此邻域内任一点，则有
2?f?x0，y0??f?x0，y0?1?f?x0，y0?2f?x，y??f?x0，y0??x?x?y?y?x?x?0???0?0??x?y2!?x22?2f?x0，y0?1?f?x0，y0?2?y?y?R ?x?x0??y?y0????0?x?y2!?y2其中余项
3?3f??，??1??f??，??32R??x?x?3x?x?????y?y0? 003!??x3?x2?y?3f??，???3f??，??23??3x?xy?y?y?y??????? 00023?x?y?y?其中?在x0与x之间，?在（乙）典型例题 一、偏导数和高阶偏导数
【例1】求下列函数的一阶和二阶偏导数 （1）z（3）zy0与y之间。
?x4?y4?4x2y2 （2）z?xy
?xsin?x?y?
?z?4x3?8xy2； ?x
解 （1）
?z?4y3?8x2y； ?y
?2z22?12x?8y； 2?x
?2z??16xy； ?x?y
?2z?12y2?8x2 2?y?z?z?yxy?1； ?xylnx； ?x?y（2）
?2z?2zy?2?y?y?1?x； ?xy?1?yxy?1lnx?xy?1?1?ylnx? 2?x?x?y?2zy2?xlnx 2?y（3）
?z?z?sin?x?y??xcos?x?y?； ?xcos?x?y?； ?x?y
?2z?2z?2cos?yn?y ?cos?x?y??xsin?x?y?； ?x??x?six?；2?x?x?y?2z??xsin?x?y? ?y2【例2】求u?1x?y?z222的一阶和二阶偏导数。
解 令
r?x2?y2?z21 r?udu?r1xx? ? ??2??3?xdr?xrrr，则u?
同理
?uy??3?yr，
?uz??3?zr，
?2u13x2?r22x2?y2?z2?4x??3?x??3r???25?xrrrr5同理
2?2u2y2?z?x??y2r52
?2u2z2?x2?y2?；2?zr5，
?2uy3xy??x??3r?4??5 ?x?yrr?2u3xz?2u3yz?5，?5?z?xr?y?zrz同理
【例3】
?x?求u????y?的一阶和二阶偏导数。
解
?uz??x????xy??y?x??u?z???y?y?z?1z?1?zx zyz?x?zxz????z?1y?y?yzz?1
?x???2????y?
?u?x?x???ln?z?y?y2z?uz(z?1)?x????2?xy2?y?z?2uz?z?1?x??y2yz?2z?2z?z?1?xz?2?yz
?2u?x??x?????ln?2?z?y??y?z2，
?2uz2?xz?1??z?1?x?yy，
?2uxz?1z?x??z????x?zyy?y?zz?1x?x?ln???y?y?zz?1?1zx??y?ylny? ??z?x??1z?2u1?x?z?x?x???????ln??????ln?y?zy?y?y?y?y?y??yy二、全微分 【例1】 求zx??， y??exy的全微分。
解
?zy?z?yex，?xe?x?y
xy 【例2】 设udz?exy?ydx?xdy?
?lnx2?y3?z4，求du。
解
u?1ln?x2?y3?z2， 4?
4
?ux?2?xx?y3?z
?u3y2??y2?x2?y3?z?4，
?u2z3?2?zx?y3?z 4
2xdx?3y2dy?4z3dzdu? 2342?x?y?z?§5.3 多元函数微分法
（甲）内容要点
一、复合函数微分法――锁链公式 模型1.
z?f?u，v?，u?u?x，y?，v=v?x，y?
?z?z?u?z???z??z?u??z????；???? ?x?u?x???x?y??u??y?y
模型2.
u?f?x，y，z?，z=z?x，y? ??u?fx?????x??u??fy?????y?zfz? ? ?x?zfz? ? ?y
模型3. u?f?x，y，z?，y?y?x?，z?z?x?
du?fx??f? ?y??x??f? ?zz??x? ydx
模型4. w?f?u，v?，u?u?x，y，z?，v?v?x，y，z? ?u?vfu???fv? ? ?x?x?u?vfu??fv? ?y?y?u?vfu??fv? ?z?z
??w??x????w???y???w????z
还有其他模型可以类似处理。 二、隐函数微分法 1.
Fy?Fx??z?z设F?x，y，z?＝0确定z?z?x，y?，则??；??
?xFz??yFz?2. 确定x?x?y，z?，则
Fy??xF??x??；??z ?yFx??zFx?F?F??y?y??z；??x ?zFy??xFy?3. 确定
y?y?z，x?，则
（乙）典型例题 【例1】 设u?f?x，y，z?有连续的一阶偏导数，又函数y?y?x?及z?z?x?分别由下列两式确定
sintdudt，求。
0tdxdudydz?fx??fy? ?fz? dxdxdxx?zexy?xy?2和ex??解 根据模型3.
由exydy??dy???xy?2两边对x求导，得exy?y?x???y?x??0
dx??dx??dyy??（分子和分母消去公因子?exy?1?） dxx??x?z0解出
由exsin?x?z??dz?sintdt两边对x求导，得ex?1?? ?t?x?z??dx?ex?x??zdz?1? dxsi?nx?z?解出
所以
du?f??dx?x?ex?x??z???yff??1?? ?xyn?xz???z?si?【例2】设u?f?x,y,z?有连续偏导数，z?z?x,y?由方程xex?yey?zez所确定，求du。
解一 令F?x,y,z??xex?yey?zez得Fx???x?1?ex，Fy????y?1?ey，Fz????z?1?ez则用隐函数求导公式得
根据模型2.
F?x?1x?z?z?zy?1y?z??x?e；??e ?xFz?z?1?yz?1?u?zx?1x?z?fx??fz??fx??fz??e ?x?xz?1
?u?zy?1y?z?fy??fz??fy??fz?e ?y?yz?1∴
du??u?ux?1x?z?y?1y?z???dx?dy??fx??fz?e?dx??fy??fz?e?dy ?x?yz?1z?1????x解二 在xe?yey?zez两边求微分得
?1?x?xed?x?1y???1??yye?dz zedz解出
1?x?exdx??1?y?eydy? dz?z1?ze???du?x?fd?xy?f?dyz fdz??1?x?exdx??1?y?eydy??fx?dx?fy?dy?fz??? z1?ze????代入
合并化简也得
x?1x?z?y?1y?z???du??fx??fz?e?dx??fy??fz?e?dy
z?1z?1????【例3】 已知F??z?z?xy?，??0确定z?z?x，y?其中F?u，v?，z?x，y?均有连续偏导数，求证x?y?z。
?x?y?zz?证
?xy?F?u，v??F?，??G?x，y，z??0
?zz?11?x??y???Fu? ????Gx? ，G??F ? ，G?F??Fyvzu?v??2? 2?zzz???z?
根据隐函数求导公式
G?zFu??z??x?
????xGzxFu?yFv
G?zFv??zy ????xFu??yFv??yGz则得
x?z?z?y?z ?x?y§5.4 多元函数的极值与最值
（甲）内容要点