坐标系与参数方程选做题 14．（5分）在极坐标系中，点
到直线ρcosθ=1的距离是．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 选作题；坐标系和参数方程．
分析： 把极坐标方程转化为普通方程，极坐标转化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解．
解答： 解：直线l的方程是ρcosθ=1，它的直角坐标方程为：x=1，点坐标为（﹣，所以点故答案为：．
），
到直线l的距离为：1+=．
的直角
点评： 本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，
考查计算能力．
几何证明选讲选做题
15．如图3，AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，∠ACD=30°．则
=．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．
分析： 连结OC，由题设条件推导出∠AOC=2∠ACD=60°，∠PCO=90°，∠POC=60°，
∠OPC=30°，由此能求出的值．
解答： 解：连结OC，
∵AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，∠ACD=30°， ∴∠AOC=2∠ACD=60°，∠PCO=90°， ∴∠POC=60°，∠OPC=30°， 设OC=a，则AC=OC=a，OP=2a，PC=∴
=
=
． ．
=，
故答案为：
点评： 本题考查与圆有关的两条线段的比值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理的合理运用．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）
2
16．（12分）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R． （1）求f（x）的最大值；
（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求
的值．
考点： 二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）先利用辅助角公式对已知函数化简，结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值
（2）结合（1）及诱导公式对已知函数化简，结合三角函数的定义即可求解 解答： 解：（1）f（x）=sin2x+cos2x…（2分）
=…（5分）
…（6分）．
…（7分）
所以f（x）的最大值为（2）由（1）得=
…（8分）
P（﹣3，4）在角α的终边上，所以=
…（12分）．
…（10分） …（11分）
点评： 本题主要考查了辅助角公式，诱导公式及三角函数的定义的简单应用，属于基础试题 17．（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据： x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．
参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=420．
考点： 线性回归方程．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （1）根据表中所给的数据，做出利用最小二乘法所用的四个量，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（2）把所给的x的值，代入上一问求出的线性回归方程中，做出对应的y的值，这是一个估计值，是一个预报值．
解答： 解：（1）=3.5，=28…（2分）
=2×18+3×27+4×32+5×35=420，
=54（5分）
∴b==5.6（7分）
a=﹣b=8.4（8分）
∴y关于x的线性回归方程是y=5.6x+8.4…（9分）
（2）当x=10时，y=5.6×10+8.4=64.4（万元）…（11分）
答：预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元．…（12分）
点评： 本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是细心地做出线性回归方程要用的系数． 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°． （1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．
考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC； （3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．
解答： （1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）
∵OM?平面PAB，PB?平面PAB，…（3分） ∴OM∥平面PAB．…（4分）
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分） ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分） ∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）
（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°， ∴菱形ABCD的面积为分）
∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴
，得
…（12分）
，…（11
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分） 在Rt△PAB中，
．…（14分）
点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
19．（14分）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12，数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等比数列；
（3）记cn=，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＜
对一切n∈N都成立，求最
+
小正整数m．
考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．
（2）由已知得当n=1时，
，当n≥2时，Sn+bn=1，Sn﹣1+bn﹣1=1，从而能够证
明{bn}是以为首项，公比为的等比数列． （3）由bn=2?（），得cn=
最小正整数m．
解答： （1）解：设{an}的公差为d， 则a2=a1+d=6，a5=a1+4d=12， 解得：a1=4，d=2，
∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2．…（2分）
（2）证明：∵数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1， ∴当n=1时，
，解得b1=，…（4分）
n
==，由此利用裂项求和法能求出
当n≥2时，Sn+bn=1，Sn﹣1+bn﹣1=1， 两式相减，得∴
，…（6分）
=0，…（5分）
∴{bn}是以为首项，公比为的等比数列…（7分） （3）解：由（2）可知：bn=∴cn=
=
=2?（），…（8分） =
=
，
n
∴Tn=∵Tn＜∴
+…+（
对一切n∈N都成立，
+
）=1﹣＜1．…（12分）
，解得m≥2015，∴最小正整数m=2015．…（14分）