通过分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点的学习指导方法把问题逐步推进、拾级而上，并辅以多媒体教学手段，使学生自主探究二分法的原理。 本节课特点主要有以下几方面：
1、以问题驱动教学，激发学生的求知欲，体现了以学生为主的教学理念。
2、注重与现实生活中案例相结合，让学生体会数学来源于现实生活又可以解决现实生活中的问题。
以李咏主持的幸运52猜商品价格来创设情境，不仅激发学生学习兴趣，学生也在猜测的过程中体会二分法思想。 3、注重学生参与知识的形成过程，使他们“听”有所思，“学”有所获。
本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完整的学习过程，培养合作交流意识。
4、恰当地利用现代信息技术，帮助学生揭示数学本质。
本节课中利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性。整个课件都以PowerPoint为制作平台，演示Excel 程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合。 七、预期效果分析
以方程的根与函数的零点知识作基础，通过对求方程近似解的探究讨论，使学生主动参与数学实践活动；采用多媒体技术，大容量信息的呈现和生动形象的演示，激发学生学习兴趣、激活学生思维，掌握二分法的本质，完成教学目标。
另外尽管使用了科学计算器，但求一个方程的近似解也是很费时的，学生容易出现计算错误和产生急躁情绪；况且问题探究式教学跟学生的学习程度有很大关系，各小组的探究时间存在差异，教师要适时指导。
几类不同增长的函数模型
一．内容和内容解析
本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想．
对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．
教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．
在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.
本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．
二．目标和目标解析
本节课的教学任务为：
（1）创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；
（2）创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；
（3）通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.
根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：
（1）通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；
（2）通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明；
（3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.
这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数
模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教学中应当注意贯
16
彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法．
结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．
三．教学问题诊断
学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．
为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题．
四．教学支持条件分析
要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型， 利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
五．教学过程设计
一、创设情境，引入课题
1.介绍第三章章头图，提出问题．
问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？ 澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长. 问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？
2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型． 3.揭示课题：几类不同增长的函数模型．
【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望．
二、分析问题，建立模型 （一）提出问题
例1．假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的 回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问：你会选择哪种投资方式？ （二）分析问题
1.引导审题，抓住关键词“回报”
问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？ 从解决问题的角度看：
（1）比较三种方案的每日回报；
（2）比较三种方案在若干天内的累计回报. 2.引导分析数量关系，建立函数模型
仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.
【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程．
【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择. 三、组织探究，感性体验
17
1.教师提出问题
问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由． 2.学生分组操作，比较不同增长 从解决问题的方式上： （1）用列表方法来比较； （2）画出函数图象来分析.
【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．
四、成果交流，阶段小结
（一）学生交流
让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论） （二）师生互动
1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象（突出散点图），引导学生关注增长量，感受增长差异． 2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异．
在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多．
（三）归纳小结
1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识． 常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）．
2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的．
【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法． 五、深入探究，理性分析 （一）提出问题
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
y?0.25x y?log7x?1 y?1.002x．其中哪个模型能符合
公司的要求？
（二）引导分析
问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？ 问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？
问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？ （三）解决问题
1.通过多媒体演示，发现增长差异； 2.结合限制条件，初步作出选择；
3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；
4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长； 5.揭示函数问题的研究方法（观察—归纳—猜想—证明）．
【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点． 【备注】对判断模型二
y?log7x?1是否满足限制条件“log7x?1?0.25x”，考虑到学生现在知识储备和接受水
平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）．
六、拓展延伸，创新设计
这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.
问题8：我们的奖励方案有什么弊端？ 问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？
【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加,要求如下：
10万～ 50万，奖金不超过2万；50万～ 200万，奖金不超过4万；200万～ 1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．（四人一组，合作完成）
【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．
七、归纳总结，提炼升华
18
问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．
1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）．
2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察—归纳—猜想—证明） 3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.
【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值． 八、布置作业，巩固提高
1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2（A组）第1题；
2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．
【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.
中心投影与平行投影及空间几何体的三视图
人教版A版《必修2》第一章第二节第一课时
一．教材分析 1．教材的地位和作用
本节课是课标教材人教版A版《必修2》第一章“空间几何体”中第二节“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时。是在上一节认识空间几何体结构特征的基础上学习空间几何体的表示形式。主要内容是：介绍两种不同的投影方法，画空间几何体的三视图。
通过本节的学习可以进一步提高学生对空间几何体结构特征的认识，培养空间想象能力、几何直观能力，运用图形语言进行交流的能力。是学好立体几何的基础之一，是本章的重点。 2．教学目标 知识目标：
（1）了解两种投影方法,中心投影法与平行投影法.
（2）能画出简单空间图形(长方体,球,圆柱,圆锥,棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型. 能力目标：
培养学生运用图形语言进行交流的能力,几何直观能力,空间想象能力. 德育目标：
培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神.让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想. 情感目标：
（1）形成主动探索的意识,丰富学生数学活动的成功体验. （2）通过学生之间的交流活动,发展学生与他人合作交流的意识. 3．教学重点、难点
教学重点：画出简单组合体的三视图 教学难点：识别三视图所表示的空间几何体 二．教法探讨
根据本节课的特点，主要采用探究发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳出三视图的投影规律和与物体方位的对应关系，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，利用多媒体形象动态的演示功能增强教学的直观性和趣味性，提高课堂效率。 三．学法指导
在学习本节内容时，学生在教师创设的问题情境中直观感知，动手操作，动脑思考，动口表达，注重多感官参与，多种心智能力的投入，使学生始终处于主动探索状态，同时向学生渗透探究发现的学习方法，培养他们在合作中共同探索新知识，解决新问题的能力。 四．教学程序 【课前准备】
19
课前安排学生复习了九年级下册第29章第一、二节的内容。预习本节内容，准备长方体形状的墨水盒、六角螺栓等实物。
创 设 情 境引入新课 教 学 过 程 【图片演示】鸟巢、水立方的鸟瞰图，六角螺栓的三视图 【教师提问】奥运场馆美丽壮观，令人赞叹，下面是鸟巢和水立方里都要大量用到的一个零件，你能猜出它是什么吗？ 通过实例引出课题 设计意图 利用学生的求知好奇心理，以大家关注的建筑物提出问题，引出课题。便于激发学生的学习兴趣，调动学生思维的积极性。紧扣本节课教学内容的主题与重点， 便于知识的迁移，使学生明确知识的实际应用性。了解数学来源于实际。 自 主 探 究 合 作 学 习 问题1：请同学们观察下列投影现象， 它们的投影过程有何不同? （课件动画演示） 介绍概念 中心投影：光线由一点向外散射形成的投影。 平行投影：平行光线照射下形成的投影。 通过多媒体课件的演示，让学生区别两种投影方法。了解中心投影与平行投影的有关概念。认识正投影与斜投影的区别。为三视图的学习做好知识准备。 在初中，学生已经会画长方体的三视图，在这里从投影的角度让学生画出长方体三个方向的正投影图，目的是要用投影的方法给出三视图的定义。为进一步研究投影规律做好准备。通过课件的演示增强了直观性。 正投影：投影线与投影面垂直 平行投影 斜投影：投影线与投影面不垂直 问题2：画出光线从长方体形墨水盒的 a.前面向后面正投影的投影图 b.左面向右面正投影的投影图 c.上面向下面正投影的投影图 学生动手操作，教师动画演示，得到三视图概念. 光线从几何体的 a.前面向后面正投影得到的投影图称为正视图； b.左面向右面正投影得到的投影图称为侧视图； c.上面向下面正投影得到的投影图称为俯视图； 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图． 侧视图画在正视图的右边， 俯视图画在正视图的下边 教 学 过 程 设计意图 20