九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31
e?1lnx1lnxdx?lnxd(?)???xxx21ee1??e111e1d(lnx)????2dx xe1x＝?11e2??1? ex1e1036.
?xe?2xdx
11?2x111??2x1?210??2xxed(?2x)??xde??1?e?e?0?e? ???00222?22?3?21?3?21??e?? =??e?1?
42?22?解：原式=? =?e37.
?1xlnxdx
eeexe2x2ee21x2x2?? 解：原式=lnxd?lnx??dx =??1242412221138. （1007考题）.计算定积分
解：由分部积分法得
?e1x2lnxdx
?e1eex3x3x3xlnxdx? ?lnxd()?lnx??dlnx
1113332e
e31e2e3x3e12e3???xdx????33139199
39.（0801考题）计算定积分解：由分部积分法得
?10xexdx．
?xedx?xe01xx10??edx?e?e01xx10?1
三、应用题（本题16分） 1．（0601考题）求曲线解：曲线
y2?x上的点，使其到A(3,0)点的距离最短
y2?x上的点到A(3,0)点的距离公式为
d?(x?3)2?y2
2
d与d在同一点取得最大值，为计算方便求d的最大值点，将
2
y2?x代入得
求导得
d2?(x?3)2?x
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九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31
令(d2(d2)??2(x?3)?1
5105105102并由此解出y??，即曲线y?x上的点(,)和点(,?) 222222)??0得x?到点
A(3,0)的距离最短。
2．求曲线
y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． y2?2x上的点?x,y?，即x,2xx2?2x?4
解：设曲线则d??到A?2,0?的距离记为d
??x?2?2?2x?2x?22d'?2x?2x?4?0 则x?1 为 唯一驻点 ∴当x?1 时 y?2或y??2
即点
?1,2?或?1,?2?到（2，0）的距离最短。
y2?4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．
y2?4x，点P到点A的距离之平方为
3.（0607考题）求抛物线
解：设所求点P(x,y)，则x,y满足
L?(x?3)2?y2?(x?3)2?4x
2(x?3)?4?0，解得x?1是唯一驻点，易知x?1是函数的极小值点，
令L??当x?1时，y?2或y??2。所以，满足条件的有两个点(1,2)和(1,?2)
4.（0701、0801、1007考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省? (一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？) 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为
s?2?r2?2?rh?2?r2?s??4?r?由s?2Vr
2Vr2
?0，得唯一驻点r?3V2?，此时h?34V?。
由实际问题可知，当底半径r?3V2?和高h?34V?时，可使用料最省。
5.（1001考题）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省? 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为
s??r2?2?rh??r2?2Vr
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九龙坡电大11春高等数学基础期末复习题 11-3-31
s??2?r?由s?2Vr2
?0，得唯一驻点r?3V?，由实际问题可知，当底半径r?3V?时可使用料最省，此时，h?3V?，即当
容器的底半径与高均为3V?时，用料最省
6 .(0901考题) 欲做一个底为正方形，容积为V立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省? 解：设底边的边长为x，高为
y，容器表面积为S，由已经x
2y?V，y?Vx2
s?x2?4y?x2?4x?令s?V4V2?x?xx2?(x2?4V1)?0 x是唯一驻点，易知x解得
3x?32V2V2?32V3是函数的最小值点，
此时有
y?，所以当x?2V3，
y?2V2时用料最省。
7．（0507考题）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设圆柱体的底面半径为x,高为h，则h?l2?x22
v??xh??x22l?x22 v'?2?xl?x?2?x3l?x22?2?xl2?x2??x3l?x22???2?xl2?3?x3l?x22?0
则x?63l为唯一驻点，易知是函数的最大值点，这时h?l， 33?63l,h?l时，圆柱体的体积最大。 33所以，由实际问题可知x8．欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底面正方形的边长为x米，长方体的高为h米， 则 容积 62.5=x表面积：s2h h?62.5 x262.52502?x?xx2
?x2?4xh?x2?4x'
2502x3?250s?2x?2??0 2xx?2.5，
则x=5为唯一驻点，易知是函数的最小值点，这时h∴x?5,h?2.5时用料最省。
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