?直线EF的方程为：y?31?3?????x???
??43?4?x2?y2?1整理得： 即x??3y?3?,代入34y2?23?y??2?1?0
3?2?1?，y1.y2? ………………………………9分 ?y1?y2?42EF??x1?x2???y1?y2?22 ?10y1?y2
?103?2?4??2?1?2
4??2 ?102原点O?0,0?到直线EF的距离为h?3? ………………………………11分 10S?ABC?1EFh 23?4??2 ………………………………12分 ?4?3?2?4??2?4
3?2?4??23??? 422当??21. 解： （1）?g(x)?2时等号成立，所以?OEF得最大值为3。…………………………13分 2ex?e(x?1)',?g(x)?,????,1??,?1,????,?g(x)极大值g(1)?1，无xxee极小值； ………………………………4分
11
（2）m=1,a=0，
?f(x)?x?1,在[3,4]上 是增函数
?ex?ex,在[3,4]上是增函数 g(x)ex2ex1 -g(x2)g(x1)设3?x1?x2?4，则原不等式转化为f(x2)-f(x1)<即f(x2)-ex2ex1 …………………………………6分 即证?x1?x2,h(x2)?h(x1),即h(x)在?3,4?? h'(x)=1-ex<0在[3,4]恒成立 即h(x)在?3,4??，即所证不等式成立 ……………………………………9分 (3）由(1）得g(x)在?0,1???1,e??,g(x)max?g(1)?1所以， g(x)??0,1? '又f(x)?m?2,当m?0时，f'(x)?0,f(x)在?0，e??不符合题意 x当m?0时，要?t1,t2使得f(t1)?f(t2)， 那么由题意知f(x)的极值点必在区间?0,e?内，即0?得m?2?e m2?2??2?，且函数f(x)在?0,??,?,e?? e?m??m?由题意得g(x)在?0,e?上的值域包含于f(x)在?0,??2??2??和?,e?上的值域 m??m??23?f()?0?2??m? ??,e?内，?me?1m????f(e)?1下面证t??0, ??22??mm?me?,即证2e?m?0 t?e时，，取，先证f(t)?1?mm?12 令w(x)?2ex?x,?w'(x)?2ex?1?0,在??3?,???内恒成立 ?e?1??w(x)?,?w(x)?w(3)?0,?2em?m?0 e?133?1,?m? e?1e?1………………… 14分 ?m?m?m再证f(e)?1,?f(e)?me?m?m? 13