=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．
【探究】（1）如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．
解：（1）如图1，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE， ∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°， ∴△APD为等边三角形， ∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE． ∴PA+PB+PC的值最小．
（2）如图，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，
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∴AB=DB、BE=BC=8、∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∵
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴CD=AE、∠BAE=∠BDC， 又∵∠AOP=∠BOD， ∴∠APO=∠OBD=60°， 在DO上截取DQ=AP，连接BQ， 在△ABP和△DBQ中， ∵
，
∴△ABP≌△DBQ（SAS）， ∴BP=BQ，∠PBA=∠QBD， 又∵∠QBD+∠QBA=60°，
∴∠PBA+∠QBA=60°，即∠PBQ=60°， ∴△PBQ为等边三角形， ∴PB=PQ，
则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE， 在Rt△ACE中，∵AC=6、CE=8， ∴AE=CD=10，
故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10．
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25．（12分）（2016?朝阳）如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．
解：（1）如图1，把T（1，﹣）代入抛物线y=（x﹣2）（x+a）得： ﹣=（1﹣2）（1+a）， 解得：a=4，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2； （2）当x=0时，y=×（﹣2）×a=﹣2， ∴C（0，﹣2），
当y=0时，（x﹣2）（x+a）=0， x1=2，x2=﹣a，
∴A（﹣a，0）、B（2，0）， 如图2，过D作DE⊥x轴于E， 设D（m，n），
∵点D在第二象限，∠DAB为钝角， ∴分两种情况：
①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD，
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∴tan∠BAC=tan∠ABD，即∴n=
，
，
，
则，
解得：m=﹣2﹣a或2， ∴E（﹣2﹣a，0）， 由勾股定理得：AC=∵∴
， =
=
，
，
BD=，
∵△BDA∽△ABC， ∴
，
∴AB2=AC?BD， 即（a+2）2=
?
，
解得：0=16，此方程无解；
②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD， ∵B（2，0），C（0，﹣2）， ∴OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形， 有BC=2
，
∴∠OCB=∠OBC=45°， ∴∠ABC=∠ABD=45°， ∴DE=BE，
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n=﹣m+2， ∴BD=
，
∵△DBA∽△ABC， ∴
，
∴AB2=BD?BC， ∴（a+2）2=
?2
=4n，
则，
解得：，
则a=2+2；
（3）当x=6时，y=（6﹣2）（6+4）=10， ∴Q（6，10），
如图4，作P关于x轴的对称点P′，过P′作P′G∥x轴，且P′G=2，连接GQ交x轴于N，过P′作P′M∥GN，交x轴于M，
此时，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM为定值，所以此时，四边形PMNQ的周长最小， ∵P（﹣1，1）， ∴P′（﹣1，﹣1）， ∵P′G∥MN，P′M∥GN， ∴四边形P′GNM是平行四边形， ∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM， ∴G（1，﹣1），
设GQ的解析式为：y=kx+b，
把G（1，﹣1）和Q（6，10）代入得：
，
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