题组层级快练(五十三)
1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是( )
A．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b∥α 答案 C
解析 对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.
2．(2015·成都一诊)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
D．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b 答案 C
解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OA∥a，OB∥b，直线OA，OB确定的平面分别交α，β于AC，BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图(2)，直线a，b在平面α内的射影分别为m，n，显然m⊥n，但a，b不垂直，所以D错误，故选C.
B．α⊥β，a?α，b?β D．a⊥α，b⊥α
3.(2015·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )
A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 答案 D
解析 A中，∵CD∥AF，AF?面PAF，CD?面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.
4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 答案 B
解析 对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.
5.如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 答案 D
解析 因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．
6.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30° 1D．四面体A′－BCD的体积为
3答案 B
解析 取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，∴A′O⊥平面BCD.∵CD⊥BD，
∴OC不垂直于BD，假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD.A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，∴A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′－BCD＝1S△A′BD·CD＝，D错误，故选B.
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7.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
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其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③
解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.
∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD； (2)证明：平面PDC⊥平面PAD； (3)求四棱锥P—ABCD的体积． 2答案 (1)略 (2)略 (3) 3解析 (1)如图所示，连接AC.
∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点， ∴F也是AC的中点． 又E是PC的中点，EF∥AP，
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)证明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD.
∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD. (3)取AD的中点为O.连接PO.
∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形， ∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高． ∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，
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∴四棱锥P—ABCD的体积V＝PO·AB·AD＝.
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9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.
(1)求证：BB1⊥平面ABC； (2)求证：BC1∥平面CA1D； (3)求三棱锥B1－A1DC的体积． 4
答案 (1)略 (2)略 (3) 3
解析 (1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴CD⊥AB.
又∵CD⊥DA1， ∴CD⊥平面ABB1A1. ∴CD⊥BB1.
又BB1⊥AB，AB∩CD＝D， ∴BB1⊥平面ABC.
(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点． 又D是AB的中点，则DE∥BC1. 又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D.
(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B， 故CD是三棱锥C－A1B1D的高． 在Rt△ACB中，AC＝BC＝2， ∴AB＝22，CD＝2.又BB1＝2，