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∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝S△A1B1D·CD＝A1B1×B1B×CD＝×22×2×2＝.
366310.如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD. 答案 (1)略 (2)略
证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC. ∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A. ∴BC⊥平面SAB.
又∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE.
又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC. 又∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF. 又∵AF?平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD. 又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF， ∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. 又SD?平面SDC，∴AG⊥SD.
1
11.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，
2D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 答案 (1)略 (2)1∶1
解析 (1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， 所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. (2)设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1. 11＋21由题意得V1＝××1×1＝. 322又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1， 所以(V－V1)∶V1＝1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 答案 (1)略 (2)略 (3)略
解析 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为BE∩EF＝E， 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD.
13.如图所示，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，A1C＝1
A1B，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
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(1)求证：平面A1AC⊥平面ABC；
(2)求证：AB1∥平面A1C1C. 答案 (1)略 (2)略
证明 (1)证明：∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB.∴A1B＝2.∵A1C＝A1B，∴A1C＝2.
∴∠A1AC＝90°.
∴A1A⊥AC.∵AB∩AC＝A，∴A1A⊥平面ABC. 又∵A1A?平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.
1
(2)取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC.
2∴四边形CEB1C1为平行四边形．∴B1E∥C1C.
∵C1C?平面A1C1C，B1E?平面A1C1C， 1
∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，
2
∴B1C1∥BE，B1C1＝BE.∴四边形BB1C1E为平行四边形．∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E.又∵四边形ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E.∴四边形AEC1A1为平行四边形．∴AE∥A1C1.∵A1C1?平面A1C1C，AE?平面A1C1C，∴AE∥平面A1C1C.
∵AE∩B1E＝E，∴平面B1AE∥平面A1C1C. ∵AB1?平面B1AE，∴AB1∥平面A1C1C.
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β 答案 B
解析 对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
2．(2014·四川文)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
思路 (1)利用线面垂直的判定定理即可证明；(2)利用线面平行的判定定理即可得出结论． 解析 (1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 11所以MD綊AC，OE綊AC.
22因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.