附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。
（a）
解：Sx?A?yc?(40?20)?(20?10)?24000(mm3) （b）
解：Sx?A?yc?(20?65)?（c）
3解：Sx?A?yc?(100?20)?(150?10)?280000(mm)
652?42250(mm)
3（d）
3解：Sx?A?yc?(100?40)?(150?20)?520000(mm)
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的静矩为： dS?dA?y?(xd??dx)?y?xd??dx?xsin??xsin??dxd?
2x半圆对x轴的静矩为：
1
Sx??r0xdx?sin??d??[02?x33]?[?cos?]0?r0?r33?[?(cos??cos0)]?2r33
因为Sx?A?yc，所以
2r33?122??r?yc yc?4r3?
[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a） 解：
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 上 左 右 Li 400 150 150 Bi 20 20 20 Ai 8000 3000 3000 14000 Yci 160 75 75 AiYci 1280000 225000 225000 1730000 Yc 123.6 离顶边 46.4 (b) 解： Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 习题I-3(b): 求L形截面的形心位置 矩形 下 左 Li 160 90 Bi 10 10 Ai 1600 900 2500 Yci 5 55 AiYci 8000 49500 57500 Yc 23 Xci 80 5 AiXci 128000 4500 132500 Xc 53 (c)
Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai 2
解：
习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置 型钢号 Ai(cm2) 槽钢20 等边角钢80*10 32.837 15.126 Yci(cm) 10 2.35 AiYci(cm3) 328.37 35.546 Yc(cm) Xci(cm) -1.95 2.35 AiXci(cm3) -64.03 35.546 Xc(cm)
47.963 363.92 7.6 -28.49 -0.6 Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai [习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的惯性矩为： dI?ydA?y(xd??dx)?xsin??xd??dx?xsin??dxd?
222232x四分之一圆对x轴的惯性矩为： Ix??rr0xdx?123?/20sin?d??[2x44]0??r?/21?cos2?20d?
4?4?[??/20d??1?2?/20cos2?d(2?)]
?r48{?24?12[sin2?]0?/2}
???r16
由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：
3
Iy?Ix???r164
微分面积对x轴、y轴的惯性积为：
dIxy?xydA
22Ixy??r0xdx?r?x0ydx??r101rxx(r?x)dx?[22222221rrr ?]?(?)?42248r0x4444[习题I-5] 图示直径为d?200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为??20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。
解：圆的方程为：
x?y22?r
2如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dA?2r?ydy
22切去2?之后，剩下部分对x轴的惯性矩为： Ix??rsin??rsin?2y2r?ydy
rsin?224?yry?2222?2?(2y?r)r?y?arcsin ?88r???rsin??r42r4(??14sin4?)
?82(4??sin4?)
x1?(100?20)2?100
2 x1?3600
2 4
x1?60(mm) tan??100?20?460340 ??arctan?53.13?0.927(rad)
3
Ix?10084(4?0.927?sin212.52)?3.963?10(mm)
074[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。
Iz??yA2dA??022a?dz?2z?222aa2?z?2ydy?2?2a0dz?22?z?2222aaydy2
z??2?[?23230022a?dz?z?z?2a20ydy?2?2a0dz??z??z?a0ydy]
2??[??22a?y?322a20dz??2a0?y?322a0dz]
2??[?022a?(z?22a)d(z?322a)??2a0(?z?22a)d(?z?322a)]
?24(z?a)?22???3?4??442?aa?? ?=??3?1616?????????0222a?24(?z?a)?22??3?4???2?????0a
?
a412
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